第3章 课时作业(十四) 导数与函数的单调性（Word练习）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

课时作业(十四)　导数与函数的单调性 [基础保分练] 1．(2023·江苏模拟)函数f(x)＝的单调递增区间是(　　) A．(－∞，－1) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)和(1，＋∞) B　解析：f(x)的定义域为R， 且f′(x)＝＝＝， 所以当－1＜x＜1时，f′(x)>0，f(x)单调递增． 2. (2023·广东清远高三开学考试)设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图象如图所示，则导函数y＝f′(x)的图象可能是(　　) A　解析：根据f(x)的图象可知，函数从左到右，单调性是：增、减、增、减，即导数从左到右，是：正、负、正、负．结合选项可知，只有A选项符合． 3．下列函数中，在(0，＋∞)上单调递增的是(　　) A．f(x)＝sin 2x B．f(x)＝xex C．f(x)＝x3－x D．f(x)＝－x＋ln x B　解析：对于A，f(x)＝sin 2x的单调递增区间是[kπ－，kπ＋](k∈Z)；对于B，f′(x)＝ex(x＋1)，当x∈(0，＋∞)时，f′(x)>0，∴函数f(x)＝xex在(0，＋∞)上单调递增；对于C，f′(x)＝3x2－1，令f′(x)>0，得x>或x<－，∴函数f(x)＝x3－x在(－∞，－)和(，＋∞)上单调递增；对于D，f′(x)＝－1＋＝－，令f′(x)>0，得0<x<1，∴函数f(x)＝－x＋ln x在区间(0，1)上单调递增． 4．(2023·四川内江期末)已知f(x)是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf′(x)＋f(x)＞0，则(　　) A．2f(1)＜f(2) B．2f(1)＞f(2) C．f(1)＜2f(2) D．f(1)＞2f(2) C　解析：令g(x)＝xf(x)， 则g′(x)＝xf′(x)＋f(x)＞0， ∴g(x)在(0，＋∞)上单调递增， ∴g(1)＜g(2)，即f(1)＜2f(2). 5．(2023·广东梅州月考)已知函数f(x)＝x2＋2cos x，则不等式f(2x－1)＜f(3x)的解集是(　　) A．(－1，) B．(－，1) C．(－∞，－1)∪(，＋∞) D．(－∞，－)∪(1，＋∞) C　解析：因为函数的定义域为R， f(－x)＝(－x)2＋2cos (－x)＝x2＋2cos x＝f(x)， 所以函数f(x)为偶函数， 当x≥0时，f′(x)＝2x－2sin x，f″(x)＝2－2cos x≥0， 所以f′(x)＝2x－2sin x在[0，＋∞)单调递增， 所以f′(x)≥f′(0)＝0， 所以函数f(x)在[0，＋∞)单调递增，再根据函数是偶函数， 所以函数f(x)在[0，＋∞)单调递增，在(－∞，0)上单调递减． 所以f(2x－1)＜f(3x)等价于|2x－1|＜|3x|， 整理得5x2＋4x－1＞0，解得x＜－1或x＞. 6．(2023·贵州遵义质检)若函数f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在区间(0，＋∞)上是减函数，则实数b的取值范围是(　　) A．[－1，＋∞) B．(－∞，－1] C．(－∞，－2] D．[－2，＋∞) C　解析：∵f(x)＝－x2＋4x＋b ln x在(0，＋∞)上是减函数， ∴f′(x)≤0在(0，＋∞)上恒成立， 即f′(x)＝－2x＋4＋≤0， 即b≤2x2－4x， ∵2x2－4x＝2(x－1)2－2≥－2，∴b≤－2. 7．(2023·陕西汉中模拟)如果函数f(x)对定义域内的任意两实数x1，x2(x1≠x2)都有>0，则称函数y＝f(x)为“F函数”．下列函数是“F函数”的是(　　) A．f(x)＝ex B．f(x)＝x2 C．f(x)＝ln x D．f(x)＝sin x B　解析：依题意，函数g(x)＝xf(x)为定义域上的增函数． 对于A，g(x)＝xex，g′(x)＝(x＋1)ex， 当x∈(－∞，－1)时，g′(x)<0， ∴g(x)在(－∞，－1)上单调递减，故A中函数不是“F函数”； 对于B，g(x)＝x3在R上单调递增，故B中函数为“F函数”； 对于C，g(x)＝x ln x，g′(x)＝1＋ln x， 当x∈时，g′(x)<0， 故C中函数不是“F函数”； 对于D，g(x)＝x sin x，g′(x)＝sin x＋x cos x， 当x∈时，g′(x)<0， 故D中函数不是“F函数”． 8．已知函数y＝f(x)(x∈R)的图象如图所示，则不等式xf′(x)＞0的解集为____________． 答案：(0，)∪(2，＋∞)　解析：由y＝f(x)的图象可知f(x)在(－∞，)和(2，＋∞)上单调递增，在(，2)上单调递减， 所以f′(x)＞0的解集为(－∞，)∪(2，＋∞)， f′(x)＜0的解集