第13章 选修4-5 第2节 不等式的证明（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．基本不等式 定理1：如果a，b∈R，那么a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 定理2：如果a，b>0，那么≥，当且仅当a＝b时，等号成立，即两个正数的算术平均不小于(即大于或等于)它们的几何平均． 定理3：如果a，b，c∈R＋，那么≥，当且仅当a＝b＝c时，等号成立． 2．不等式的证明方法 (1)比较法 ①作差法(a，b∈R)：a－b>0⇔a>b； a－b<0⇔a<b；a－b＝0⇔a＝b. ②作商法(a>0，b>0)：>1⇔a>b； <1⇔a<b；＝1⇔a＝b. 作差比较法的实质是把两个数或式子的大小判断问题转化为一个数(或式子)与0的大小关系． (2)综合法与分析法 ①综合法：从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立．综合法又叫顺推证法或由因导果法． ②分析法：从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立，这种证法称为分析法，即“执果索因”的证明方法． 用分析法证明数学问题时，要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即要证……”“就要证……”等分析到一个明显成立的结论，再说明所要证明的数学问题成立． 学霸笔记 1．a2≥0(a∈R). 2．(a－b)2≥0(a，b∈R)，其变形有a2＋b2≥2ab，≥ab，a2＋b2≥(a＋b)2. 3．若a，b为正实数，则≥. 特别地，＋≥2. 4．a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 进阶诊断 1．判断正误 (1)比较法最终要判断式子的符号得出结论．(　　×　　) (2)综合法是从原因推导到结果的思维方法，它是从已知条件出发，经过逐步推理，最后达到待证的结论．(　　√　　) (3)分析法又叫逆推证法或执果索因法，是从待证结论出发，一步一步地寻求结论成立的必要条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实．(　　×　　) (4)使用反证法时，“反设”不能作为推理的条件应用．(　　×　　) 2.(不等式放缩不当致误)设a，b∈(0，＋∞)，且ab－a－b＝1，则有(　　) A．a＋b≥2(＋1) B．a＋b≤＋1 C．a＋b<＋1 D．a＋b>2(＋1) A　解析：由已知得a＋b＋1＝ab≤，故有(a＋b)2－4(a＋b)－4≥0，解得a＋b≥2＋2或a＋b≤－2＋2(舍去)，即a＋b≥2＋2(当且仅当a＝b＝＋1时取等号). 3．(教材习题改编)已知a≥b>0，M＝2a3－b3，N＝2ab2－a2b，则M，N的大小关系为____________． 答案：M ≥N　解析：2a3－b3－(2ab2－a2b)＝2a(a2－b2)＋b(a2－b2)＝(a2－b2)(2a＋b)＝(a－b)(a＋b)·(2a＋b). 因为a≥b>0，所以a－b≥0，a＋b>0，2a＋b>0， 从而(a－b)(a＋b)(2a＋b)≥0，故2a3－b3≥2ab2－a2b. 4．(2023·安徽淮北市模拟)已知x>0，则y＝x2＋的最小值为________． 答案：3　解析：因为x>0， 所以y＝x2＋＝x2＋＋≥3＝3， 当且仅当x2＝，即x＝1时等号成立，所以y＝x2＋的最小值为3. 考点1　比较法证明不等式　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 (1)已知a，b都是正数，且a≠b，求证：a5＋b5＞a2b3＋b2a3. (2)已知a，b∈(0，＋∞)，求证：abba≤(ab). 思 维 导 引 学科 素养 本题主要考查逻辑推理、数学运算等核心素养 思路 点拨 (1)作差因式分解比较即可； (2)作商与1比较大小即可得证 证明：(1)(a5＋b5)－(a2b3＋a3b2) ＝(a5－a3b2)＋(b5－a2b3) ＝a3(a2－b2)－b3(a2－b2) ＝(a2－b2)(a3－b3) ＝(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2). ∵a，b都是正数，∴a＋b＞0，a2＋ab＋b2＞0， 又∵a≠b，∴(a－b)2＞0，∴(a＋b)(a－b)2(a2＋ab＋b2)＞0，∴(a5＋b5)＞(a2b3＋a3b2) . (2)＝ab－ba－＝. 当a＝b时，＝1； 当a>b>0时，0<<1, >0，<1. 当b>a>0时，>1，<0，<1. 所以abba≤(ab). 方法规律 比较法证明不等式的方法与步骤 (1)作差比较法：作差、变形、判号、下结论． (2)作商比较法：作商、变形、判断、下结论． (3)①当被证的不等式两端是多项式、分式或对数式时，一般使用作差比较法． ②当被证的不等式两边含有幂式或指数式或乘积式时，一般使用作商比较法． 　设a，b是非负实数，求证：a2＋b2≥·(a＋b). 证明：因为a2＋b2－(a＋b)