第12章 第2节 直接证明与间接证明（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立 从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直到最后把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等) 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 →→…→ →→…→(得到一个明显成立的条件) 文字 语言 因为……所以…… 或由……得…… 要证……只需证……即证…… 分析法证明的注意点：要注意书写格式的规范性，常常用“要证(欲证)……”“即证……”“只需证……”． 2．间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明方法，反证法是一种常用的间接证明方法． (1)反证法的定义：假设原命题不成立(即在原命题的条件下，结论不成立)，经过正确的推理，最后得出矛盾，因此说明假设错误，从而证明原命题成立的证明方法． (2)用反证法证明的一般步骤：①反设——假设命题的结论不成立；②归谬——根据假设进行推理，直到推出矛盾为止；③结论——断言假设不成立，从而肯定原命题的结论成立． 反证法中的矛盾主要是指以下几方面： (1)与已知条件矛盾； (2)与假设矛盾； (3)与定义、公理、定理矛盾； (4)与公认的简单事实矛盾； (5)自相矛盾． 学霸笔记 实际解题时，用分析法思考问题，寻找解题途径，用综合法书写解题过程，或者联合使用分析法与综合法，即从“欲知”想“已知”(分析)，从“已知”推“可知”(综合)，双管齐下，两面夹击，找到沟通已知条件和结论的途径． 进阶诊断 1. 判断正误 (1)综合法的思维过程是由因导果，逐步寻找已知的必要条件．(　　√　　) (2)分析法是从要证明的结论出发，逐步寻找使结论成立的充要条件．(　　×　　) (3)反证法是指将结论和条件同时否定，推出矛盾．(　　×　　) (4)用反证法证明时，推出的矛盾不能与假设矛盾．(　　×　　) (5)常常用分析法寻找解题的思路与方法，用综合法展现解决问题的过程．(　　√　　) 2.(教材习题改编)若P＝＋，Q＝＋(a≥0)，则P，Q的大小关系是(　　) A．P>Q B．P＝Q C．P<Q D．由a的取值确定 A　解析：P2＝2a＋13＋2， Q2＝2a＋13＋2， 所以P2>Q2，又因为P>0，Q>0，所以P>Q. 3．(利用反证法时反设不正确致误)用反证法证明命题：“三角形的内角中至少有一个内角不大于60度”，假设正确的是(　　) A．假设三个内角都不大于60度 B．假设三个内角都大于60度 C.假设三个内角至多有一个大于60度 D．假设三个内角至多有两个大于60度 B　解析：根据反证法的定义，假设是对原命题结论的否定，故假设三个内角都大于60度． 4．(教材习题改编)在△ABC中，三个内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，则△ABC的形状为________． 答案：等边三角形　解析：由题意2B＝A＋C，又A＋B＋C＝π，∴B＝，又b2＝ac，由余弦定理得b2＝a2＋c2－2ac cos B＝a2＋c2－ac， ∴a2＋c2－2ac＝0，即(a－c)2＝0，∴a＝c， ∴A＝C，∴A＝B＝C＝，∴△ABC为等边三角形． 考点1　综合法　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin Asin B＋sin B sin C＋cos 2B＝1. (1)求证：a，b，c成等差数列； (2)若C＝，求证：5a＝3b 证明：(1)由已知得sin A sin B＋sin B sin C＝2sin2B， 因为sinB≠0，所以sin A＋sin C＝2sin B， 由正弦定理，有a＋c＝2b，即a，b，c成等差数列． (2)由C＝，c＝2b－a及余弦定理得(2b－a)2＝a2＋b2＋ab，即有5ab－3b2＝0，即5a＝3b. 方法规律 综合法的证题思路 (1)综合法是“由因导果”的证明方法，它是一种从已知到未知(从题设到结论)的逻辑推理方法，即从题设中的已知条件或已证的真实判断(命题)出发，经过一系列中间推理，最后导出所要求证结论的真实性． (2)综合法的逻辑依据是三段论式的演绎推理. 　 数列{an}满足an＋1＝，a1＝1. (1)证明：数列是等差数列； (2)求数列的前n项和Sn，并证明＋＋…＋>. (1)证明：因为an＋1＝，所以＝， 化简得＝2＋，即－＝2，故数列是以1为首项，2为公差的等差数列． (2)解：由(1)知＝2n－1，所以Sn＝＝n2. 方法一　＋＋…＋＝＋＋…＋>＋＋…＋＝(1－)＋(－)＋…＋(－)＝1－＝. 方法二　＋＋…＋＝＋＋…＋>1， 又因为1>，所