第12章 第3节 数学归纳法（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 数学归纳法 一般地，证明一个与正整数n有关的命题，可按下列步骤进行： (1)(归纳奠基)证明当n取第一个值n0(n0∈N*)时命题成立． (2)(归纳递推)假设当n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题成立，证明当n＝k＋1时命题也成立． 只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从n0开始的所有正整数n都成立． 归纳假设就是证明n＝k＋1时命题成立的条件，必须用上，否则就不是数学归纳法． 学霸笔记 应用数学归纳法的常见策略 (1)应用数学归纳法证明等式，关键在于“先看项”，弄清等式两边的构成规律，由n＝k到n＝k＋1时等式两边变化的项． (2)应用数学归纳法证明不等式，关键是由n＝k成立证n＝k＋1时也成立．在归纳假设后应用比较法、综合法、分析法、放缩法等加以证明，充分应用不等式的性质及放缩技巧． (3)应用数学归纳法解决“归纳—猜想—证明”，是不完全归纳与数学归纳法的综合应用，关键是先由合情推理发现结论，然后再证明结论的正确性． 进阶诊断 1. 判断正误 (1)用数学归纳法证明问题时，第一步是验证当n＝1时结论成立．(　　×　　) (2)所有与正整数有关的数学命题都必须用数学归纳法证明．(　　×　　) (3)不论是等式还是不等式，用数学归纳法证明时，由n＝k到n＝k＋1时，项数都增加了一项．(　　×　　) (4)用数学归纳法证明问题时，必须要用归纳假设．(　　√　　) 2．(教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n－3)条时，第一步检验n等于(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 C　解析：三角形是边数最少的凸多边形，故第一步应检验n＝3. 3．(2021·广西玉林期中)用数学归纳法证明不等式＋＋＋…＋>(n≥2)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边(　　) A．增加了一项 B．增加了两项， C.增加了一项，又减少了一项 D．增加了两项，，又减少了一项 D　解析：由题意，当n＝k时，左边为＋＋…＋， 当n＝k＋1时，＋＋…＋＋＋， 两式比较，可得从n＝k递推到n＝k＋1时，不等式的左边增加了两项，，又减少了一项. 4．(不利用归纳假设致误)用数学归纳法证明1＋2＋3＋…＋(2n＋1)＝(n＋1)(2n＋1)时，从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是______________． 答案：(2k＋2)＋(2k＋3)　解析：当n＝k时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)， 当n＝k＋1时，待证等式左边＝1＋2＋3＋…＋(2k＋1)＋(2k＋2)＋(2k＋3)， 所以从n＝k到n＝k＋1，左边需增添的代数式是(2k＋2)＋(2k＋3). 考点1　用数学归纳法证明恒等式　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 用数学归纳法证明： ＋＋＋…＋＝(n∈N*). 证明：①当n＝1时， 等式左边＝＝， 等式右边＝＝， 等式左边＝等式右边，所以等式成立． ②假设n＝k(k∈N*且k≥1)时等式成立，即有 ＋＋＋…＋＝， 则当n＝k＋1时，＋＋＋…＋＋＝＋ ＝＝＝ ＝. 所以当n＝k＋1时，等式也成立， 由①②可得，对于一切n∈N*，等式都成立． 方法规律 用数学归纳法证明等式的注意点 (1)用数学归纳法证明等式问题，要“先看项”，弄清等式两边的构成规律，等式两边各有多少项，初始值n0是多少． (2)由n＝k时等式成立，推出n＝k＋1时等式成立，一要找出等式两边的变化(差异)，明确变形目标；二要充分利用归纳假设，进行合理变形，正确写出证明过程． (3)不利用归纳假设的证明，就不是数学归纳法． 　设f(n)＝1＋＋＋…＋(n∈N*).求证：f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*). 证明：①当n＝2时，左边＝f(1)＝1， 右边＝2(1＋－1)＝1，左边＝右边，等式成立． ②假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，结论成立， 即f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＝k[f(k)－1]， 那么，当n＝k＋1时， f(1)＋f(2)＋…＋f(k－1)＋f(k) ＝k[f(k)－1]＋f(k) ＝(k＋1)f(k)－k＝(k＋1)·－k ＝(k＋1)f(k＋1)－(k＋1)＝(k＋1)[f(k＋1)－1]， ∴当n＝k＋1时结论仍然成立． 由①②可知，f(1)＋f(2)＋…＋f(n－1)＝n[f(n)－1](n≥2，n∈N*). 考点2　用数学归纳法证明不等式　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 设等差数列{an}的前n项和为Sn，a3＝4，a4＝S3.数列{bn}满足：对每个n∈N*，Sn＋bn，Sn＋1＋bn，Sn＋2＋bn成等比数列． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式； (2)记cn＝，n∈N*，证明：c1＋c2＋…＋cn<2，n∈N*.