第13章 选修4-4 第2节 参数方程（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．曲线的参数方程 一般地，在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y)都在这条曲线上，那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数． 2．参数方程与普通方程的互化 通过消去参数从参数方程得到普通方程，如果知道变数x，y中的一个与参数t的关系，例如x＝f(t)，把它代入普通方程，求出另一个变数与参数的关系y＝g(t)，那么就是曲线的参数方程． 将参数方程化为普通方程时，要注意防止变量x和y取值范围的扩大或缩小，必须根据参数的取值范围，确定函数f(t)和g(t)的值域，即x和y的取值范围． 3．直线、圆和圆锥曲线的参数方程 名称 普通方程 参数方程 直线 y－y0＝ k(x－x0) (t为参数) 圆 (x－x0)2＋ (y－y0)2＝R2 (θ为参数且0≤θ＜2π) 椭圆 ＋＝1 (a＞b＞0) (t为参数且0≤t＜2π) 抛物线 y2＝2px (p＞0) (t为参数) 直线的参数方程中，参数t的系数的平方和为1时，t才有几何意义且几何意义为|t|是直线上任一点M(x，y)到M0(x0，y0)的距离． 学霸笔记 1．直线参数方程的三个应用及一个易错点 (1)三个应用 已知直线l经过点M0(x0，y0)，倾斜角为α，点M(x，y)为l上任意一点，则直线l的参数方程为(t为参数). ①若M1，M2是直线l上的两个点，对应的参数分别为t1，t2， 则|M0M1||M0M2|＝|t1t2|， |M1M2|＝|t2－t1|＝； ②若线段M1M2的中点M3所对应的参数为t3，则t3＝； ③若直线l上的线段M1M2的中点为M0(x0，y0)，则t1＋t2＝0，t1t2<0. (2)一个易错点 在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正余弦值．否则参数不具备该几何含义． 2．掌握圆的参数方程的两种应用 (1)解决与圆上的动点有关的距离取值范围以及最大值和最小值问题，通常可以转化为点与圆、直线与圆的位置关系． (2)求距离的问题，通过设圆的参数方程，就转化为求三角函数的值域问题． 进阶诊断 1．判断正误 (1)参数方程中的x，y都是参数t的函数．(　　√　　) (2)过M0(x0，y0)，倾斜角为α的直线l的参数方程为(t为参数).参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y)为终点的有向线段M0M的数量．(　　√　　) (3)方程(θ为参数)表示以点(0，1)为圆心，以2为半径的圆．(　　√　　) (4)已知椭圆的参数方程(t为参数)，点M在椭圆上，对应参数t＝，点O为原点，则直线OM的斜率为.(　　×　　) 2．(忽视互化的等价性致误)若曲线C的参数方程为(θ为参数)，则曲线C上的点的轨迹是(　　) A．直线x＋2y－2＝0 B．以(2，0)为端点的射线 C．圆(x－1)2＋y2＝1 D．以(2，0)和(0，1)为端点的线段 D　解析：将曲线C的参数方程化为普通方程得x＋2y－2＝0(0≤x≤2，0≤y≤1). 3.(直线参数方程中参数t的几何意义不清致误)已知直线(t为参数)上两点A，B对应的参数值是t1，t2，则|AB|＝(　　) A．|t1＋t2| B．|t1－t2| C．|t1－t2| D． C　解析：依题意，A(x0＋at1，y0＋bt1)，B(x0＋at2，y0＋bt2)， 则|AB|＝＝|t1－t2|. 4．(教材习题改编)在平面直角坐标系xOy中，若直线l：(t为参数)过椭圆C：(φ为参数)的右顶点，则常数a的值为________． 答案：3　解析：直线l的普通方程为x－y－a＝0，椭圆C的普通方程为＋＝1， 所以椭圆C的右顶点坐标为(3，0)，若直线l过点(3，0)， 则3－a＝0，所以a＝3. 考点1　参数方程与普通方程的互化　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．将下列参数方程化为普通方程． (1)(t为参数)； (2)(θ为参数). 解：(1)由t2－1≥0⇒t≥1或t≤－1⇒0<x≤1或－1≤x<0. 由 得普通方程为x2＋y2＝1. 其中或 (2)由x＝2＋sin2θ，0≤sin2θ≤1⇒2≤2＋sin2θ≤3⇒2≤x≤3， 2．已知直线l的参数方程为(t为参数)，圆C的参数方程为(θ为参数). (1)求直线l和圆C的普通方程； (2)若直线l与圆C有公共点，求实数a的取值范围． 解：(1)消去参数t得直线l的普通方程为2x－y－2a＝0， 联立得圆C的普通方程为x2＋y2＝16. (2)因为直线l与圆C有公共点， 故圆C的圆心(0，0)到直线l的距离d＝≤4， 解得