第13章 选修4-5 第1节 绝对值不等式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

选修4－5　不等式选讲 　 知识梳理 1．绝对值三角不等式 定理1：如果a，b是实数，则|a＋b| ≤|a|＋|b|，当且仅当ab≥0时，等号成立； 定理2：如果a，b，c是实数，那么|a－c|≤|a－b|＋|b－c|，当且仅当(a－b)(b－c)≥0时，等号成立． 绝对值三角不等式|a＋b|≤|a|＋|b|，从左到右是一个放大过程，从右到左是缩小过程，证明不等式可以直接用． 2．绝对值不等式的解法 (1)含绝对值的不等式|x|<a与|x|>a的解集 不等式 a＞0 a＝0 a＜0 |x|＜a {x|－a＜x＜a} ∅ ∅ |x|＞a {x|x＞a或x＜－a} {x|x∈R且x≠0} R (2)|ax＋b|≤c(c>0)和|ax＋b|≥c(c>0)型不等式的解法 ①|ax＋b|≤c⇔－c≤ax＋b≤c； ②|ax＋b|≥c⇔ax＋b≥c或ax＋b≤－c． 3．|x－a|＋|x－b|≥c(c>0)和|x－a|＋|x－b|≤c(c>0)型不等式的解法 方法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想． 方法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想． 方法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想． 在解决有关绝对值不等式的问题时，充分利用绝对值不等式的几何意义解决问题能有效避免分类讨论不全面的问题．若用零点分段法求解，要掌握分类讨论的标准，做到不重不漏． 学霸笔记 　|a＋b|与|a|－|b|，|a－b|与|a|－|b|，|a|＋|b|之间的关系： (1)|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当ab≤0，且|a|≥|b|时，等号成立． (2)|a|－|b|≤|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当|a|≥|b|且ab≥0时，左边等号成立，当且仅当ab≤0时，右边等号成立． 进阶诊断 1．判断正误 (1)若|x|＞c的解集为R，则c≤0.(　　×　　) (2)不等式|x－1|＋|x＋2|＜2的解集为∅.(　　√　　) (3)对|a＋b|≥|a|－|b|，当且仅当a＞b＞0时等号成立．(　　×　　) (4)对|a|－|b|≤|a－b|，当且仅当|a|≥|b|时等号成立．(　　×　　) (5)对|a－b|≤|a|＋|b|，当且仅当ab≤0时等号成立．(　　√　　) 2.(教材习题改编)不等式3≤|5－2x|<9的解集为(　　) A．[－2，1)∪[4，7) B．(－2，1]∪(4，7] C．(－2，－1]∪[4，7) D．(－2，1]∪[4，7) D　解析：由题意得即 解得不等式的解集为(－2，1]∪[4，7). 3．(含参不等式讨论不清致误)若不等式|kx－4|≤2的解集为{x|1≤x≤3}，则实数k＝________． 答案：2　解析：因为|kx－4|≤2，所以－2≤kx－4≤2，所以2≤kx≤6.因为不等式的解集为{x|1≤x≤3}，所以k＝2. 4．(存在性问题不能转化为最值问题致误)若关于x的不等式|a|≥|x＋1|＋|x－2|存在实数解，则实数a的取值范围是________________． 答案：(－∞，－3]∪[3，＋∞)　解析：由于|x＋1|＋|x－2|≥|(x＋1)－(x－2)|＝3， 所以|x＋1|＋|x－2|的最小值为3.要使原不等式有解，只需|a|≥3，则a≥3或a≤－3. 考点1　绝对值不等式的解法　　　　　　　　　　　　　　讲练融通 (2021·全国乙卷)已知函数f(x)＝|x－a|＋|x＋3|. (1)当a＝1时，求不等式f(x)≥6的解集； (2)若f(x)＞－a，求a的取值范围． 解：(1)当a＝1时，f(x)＝|x－1|＋|x＋3|，|x－1|＋|x＋3|表示数轴上的点到1和－3的距离之和， 则f(x)≥6表示数轴上的点到1和－3的距离之和不小于6， 当x＝－4或x＝2时所对应的数轴上的点到1，－3所对应的点距离之和等于6， ∴数轴上到1，－3所对应的点距离之和大于等于6得到所对应的坐标的范围是x≤－4或x≥2， 所以f(x)≥6的解集为(－∞，－4]∪[2，＋∞). (2)依题意f(x)＞－a，即|x－a|＋|x＋3|＞－a恒成立， |x－a|＋|x＋3|＝|a－x|＋|x＋3|≥|a＋3|， 当且仅当(a－x)(x＋3)≥0时取等号，∴f(x)min＝|a＋3|，故|a＋3|＞－a，所以a＋3＞－a或a＋3＜a，解得a＞－. 所以a的取值范围是. 方法规律 解绝对值不等式的方法有零点分段法、几何意义法．解含有两个绝对值，且其中的x的系数相等时，可以考虑利用数轴上绝对值的几何意义求解；利用绝对值三角不等式求最值也是常见的问题，注意表述取等号的条件． 　(2020·全国卷Ⅱ)已知函数f(x)＝|x－a2|＋|x－2a＋1|.