第11章 专题6 高考中的概率与统计问题（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

专题六　高考中的概率与统计问题 题型一　概率与频率分布直方图的交汇 (2023·山东泰安模拟)某大城市一家餐饮企业为了了解外卖情况，统计了某个外卖小哥某天从9：00到21：00这个时间段送的50单外卖，以2小时为一时间段将时间分成六段，各时间段内外卖小哥平均每单的收入情况如下表，各时间段内送外卖的单数的频率分布直方图如图． 时间 区间 [9， 11) [11， 13) [13， 15) [15， 17) [17， 19) [19， 21] 每单收 入(元) 6 5.5 6 6.4 5.5 6.5 (1)求频率分布直方图中a的值，并求这个外卖小哥送这50单获得的收入； (2)这个外卖小哥记得在[13，15)这个时间段只有4单外卖带有饮品，现在从[13, 15)这个时间段送出的外卖中随机抽取3单外卖，求这3单外卖中带有饮品的单数X的分布列和数学期望． 思 维 导 引 学科 素养 本题主要考查数据分析、逻辑推理、数学运算等学科素养 思路 点拨 (1)先求出a的值，再求平均值； (2)先确定X的值，再求其概率后写出分布列及数学期望 解：(1)由频率分布直方图得2a＝1－2×(0.05×2＋0.08×2＋0.14)＝0.2，解得a＝0.1. 又∵样本容量n＝50，∴在[9，11)这个时间段送外卖的频数为0.08×2×50＝8， 同理可求得[11，13)，[13，15)，[15，17)，[17，19)，[19，21]这5个时间段送外卖的频数分别为14, 10, 5, 8, 5. ∴外卖小哥送50单的收入为8×6＋14×5.5＋10×6＋5×6.4＋8×5.5＋5×6.5＝293.5(元). (2)由(1)知，在[13, 15)这个时间段共送10单外卖，10单外卖中有4单带饮品，6单不带饮品， X的可能取值为0，1，2，3. P(X＝0)＝＝＝，P(X＝1)＝＝＝， P(X＝2)＝＝＝，P(X＝3)＝＝＝. ∴X的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 方法规律 频率分布直方图、条形图等是考查数据收集和整理的常用依据，掌握图中常见数据的提取方法，将频率看作概率是解决这类问题的关键． 　(2023·广东湛江模拟)某高三学生小明准备利用暑假的7月和8月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择．已知“销售员”工作每日底薪为50元，每日销售的前5件每件奖励20元，超过5件的部分每件奖励30元．小明通过调查，统计了100名销售员1天的销售记录，其柱状图如图1；“送外卖员”没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1至20单(含20单)每送一单3元，超过20单且不超过40单的部分每送一单4元，超过40单的部分，每送一单4.5元．小明通过随机调查，统计了100名送外卖员的日送单数，并绘制成如下频率分布直方图(如图2). 　 (1)分别求出“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式和“送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式； (2)若将频率视为概率，根据统计图，试分别估计“销售员”的日薪X1和“送外卖员”的日薪X2(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)的均值，分析选择哪种工作比较合适，并说明你的理由． 解：(1)“销售员”的日薪y1(单位：元)与销售件数x1的函数关系式为 y1＝ “送外卖员”的日薪y2(单位：元)与所送单数x2的函数关系式为 y2＝ (2)由柱状图知，日平均销售量满足如下表格： 销售量/件 3 4 5 6 7 频率 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1 所以X1的分布列为 X1 110 130 150 180 210 P 0.05 0.2 0.25 0.4 0.1 所以E(X1)＝110×0.05＋130×0.2＋150×0.25＋180×0.4＋210×0.1＝162(元). 由频率分布直方图可知，日送单数满足如下表格： 单数/单 10 30 50 70 90 频率 0.05 0.25 0.45 0.2 0.05 所以X2的分布列为 X2 30 100 185 275 365 P 0.05 0.25 0.45 0.2 0.05 所以E(X2)＝30×0.05＋100×0.25＋185×0.45＋275×0.2＋365×0.05＝183(元). 由以上计算得E(X2)>E(X1)，做“送外卖员”挣的更多， 故小明选择做“送外卖员”的工作比较合适． 题型二　概率与独立性检验的交汇 (2023·山东济南模拟)某大型水果超市，为了对香蕉进行合理定价，对近5天的销售量yi和销售单价xi(i＝