第11章 第2节 二项式定理（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1. 二项式定理 (1)定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b1＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*). (2)通项：第k＋1项为Tk＋1＝Can－kbk． (3)二项式系数：二项展开式中各项的二项式系数为C(k＝0，1，2，…，n). 二项展开式形式具有的特点 (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 2.二项式系数的性质 学霸笔记 1．二项展开式的三个重要特征 (1)字母a的指数按降幂排列由n到0. (2)字母b的指数按升幂排列由0到n. (3)每一项字母a的指数与字母b的指数的和等于n. 2．三个易错点 (1)二项式定理中，通项公式Tk＋1＝Can－kbk是展开式的第k＋1项，不是第k项． (2)二项式系数与展开式中项的系数是两个不同的概念，在Tk＋1＝Can－kbk中，C是该项的二项式系数，该项的系数还与a，b有关． (3)二项式系数的最值与指数n的奇偶性有关．当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大；当n为奇数时，中间两项的二项式系数相等，且同时取得最大值． 进阶诊断 1．判断正误 (1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式的第k项．(　　×　　) (2)(a＋b)n的展开式中某一项的二项式系数与a，b无关．(　　√　　) (3)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　×　　) (4)(a＋b)n某项的系数是该项中非字母因数部分，包括符号等，与该项的二项式系数不同．(　　√　　) 2．(2023·江苏前黄高级中学模拟)的展开式中的中间项为(　　) A． B．x－ C．－7 D．－7x－ B　解析：由题意得中间项为C()4·＝x－. 3．(教材习题改编)已知(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值为(　　) A．7 B．7或8或9 C．9 D．7或8 B　解析：∵(a＋b)n的展开式中第5项的二项式系数C最大，∴n＝7或n＝8或n＝9. 4．(2022·北京卷)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝(　　) A．40 B．41 C．－40 D．－41 B　解析：方法一　依题意，令x＝1，可得1＝a4＋a3＋a2＋a1＋a0，令x＝－1，可得81＝a4－a3＋a2－a1＋a0，以上两式相加可得82＝2(a4＋a2＋a0)，所以a0＋a2＋a4＝41. 方法二　二项式(2x－1)4的通项为Tk＋1＝C(2x)4－k·(－1)k，分别令k＝4，2，0，可分别得a0＝1，a2＝24，a4＝16，所以a0＋a2＋a4＝41. 考点1　求展开式中的特定项或特定项的系数　　　　　　　　　　　　　　自主练通 考向1　求二项展开式中的特定项 1．(2021·北京卷)的展开式中常数项是________. 答案：－4　解析：由二项式展开公式可得C·(x3)1·＝－4. 2．(2021·上海卷)已知二项式(x＋a)5展开式中，x2项的系数为80，则a＝________． 答案：2　解析：由二项式展开公式可得，Cx2a3＝80x2，解得a＝2. 3．在二项式(＋x)9的展开式中，常数项是______；系数为有理数的项的个数是________． 答案：16　5　解析：由题意，(＋x)9的通项为Tk＋1＝C()9－k·xk(k＝0，1，2，…，9).当k＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16.若展开式的系数为有理数，则k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10共5个． 方法规律 考向2　形如（a＋b）m（c＋d）n（m，n∈N*）的展开式 4．(2022·新高考Ⅰ卷)(1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为__________(用数字作答). 答案：－28　解析：(x＋y)8展开式的通项 Tk＋1＝Cx8－kyk，k＝0，1，…，7，8. 令k＝6，得T6＋1＝Cx2y6，令k＝5，得T5＋1＝Cx3y5， 所以(1－)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为C－C＝－28. 5．(2020·全国卷Ⅰ)(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为(　　) A．5 B．10 C．15 D．20 C　解析：要求(x＋y)5的展开式中x3y3的系数，只要分别求出(x＋y)5的展开式中x2y3和x4y的系数再相加即可．由二项式定理可得(x＋y)5的展开式中x2y3的系数为C＝10，x4y的系数为C＝5，故(x＋y)5的展开式中x3y3的系数为10＋5＝15. 方法规律 考向3　形如（a＋b＋c）n（n∈N*）的展开式