第11章 第3节 随机事件的概率与古典概型（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．概率与频率 (1)在相同的条件S下重复n次试验，观察某一事件A是否出现，称n次试验中事件A出现的次数nA为事件A出现的频数，称事件A出现的比例fn(A)＝为事件A出现的频率． (2)对于给定的随机事件A，由于事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A). 随机事件A发生的频率与概率的区别与联系 随机事件A发生的频率是随机的，而概率是客观存在的确定的常数，但在大量随机试验中事件A发生的频率稳定在事件A发生的概率附近． 2．事件的关系与运算 定 义 符号表示 包含 关系 如果事件A发生，则事件B一定发生，这时称事件B包含事件A(或称事件A包含于事件B) B⊇A (或A⊆B) 相等 关系 若B⊇A且A⊇B，那么称事件A与事件B相等 A＝B 并事 件(和 事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生或事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的并事件(或和事件) A∪B (或A＋B) 交事 件(积 事件) 若某事件发生当且仅当事件A发生且事件B发生，则称此事件为事件A与事件B的交事件(或积事件) A∩B (或AB) 互斥 事件 若A∩B为不可能事件，那么称事件A与事件B互斥 A∩B＝∅ 对立 事件 若A∩B为不可能事件，A∪B为必然事件，那么称事件A与事件B互为对立事件 A∩B＝∅ 且A∪B＝Ω 3.概率的几个基本性质 (1)概率的取值范围：0≤P(A)≤1． (2)必然事件的概率：P(A)＝1． (3)不可能事件的概率：P(A)＝0． (4)概率的加法公式：如果事件A与事件B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)对立事件的概率：若事件A与事件B互为对立事件，则A∪B为必然事件． P(A∪B)＝1，P(A)＝1－P(B)． 4．古典概型 (1)基本事件的特点 ①任何两个基本事件是互斥的； ②任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． (2)特点 ①试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． ②每个基本事件发生的可能性相等，即等可能性． (3)概率公式 P(A)＝． (1)一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点——有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型．正确判断试验的类型是解决概率问题的关键． (2)古典概型是一种特殊的概率模型，但并不是所有的试验都是古典概型． 学霸笔记 1．从集合的角度理解互斥事件和对立事件 (1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集． (2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集． 2．频率的计算公式与古典概型的概率计算公式的异同 名称 不同点 相同点 频率计 算公式 频率计算中的k，n均随随机试验的变化而变化，但随着试验次数的增多，它们的比值逐渐趋近于概率值 都计算 了一个 比值 古典概型 的概率计 算公式 是一个定值，对同一个随机事件而言，k，n都不会变化 3.常用结论 (1)频率随着试验次数的改变而改变，概率是一个常数． (2)对立事件是互斥事件的特殊情况，而互斥事件未必是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件． (3)概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，易忽视只有当A∩B＝∅，即A，B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，此时P(A∩B)＝0. (4)当一个事件包含多个结果且各个结果彼此互斥时，要用到概率加法公式的推广，即P(A1＋A2＋…＋An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An). 进阶诊断 1．判断正误 (1)事件发生的频率与概率是相同的．(　　×　　) (2)在大量重复试验中，概率是频率的稳定值．(　　√　　) (3)两个事件的和事件是指两个事件都得发生．(　　×　　) (4)掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一反”“两个反面”，这三个结果是等可能的．(　　×　　) 2.(教材习题改编)一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的对立事件是(　　) A．至多有一次中靶 B．两次都中靶 C．只有一次中靶 D．两次都不中靶 D　解析：“至少有一次中靶”的对立事件是“两次都不中靶”． 3．(教材习题改编)把一枚质地均匀的硬币连续抛掷1 000次，其中有496次正面朝上，504次反面朝上，则掷一次硬币正面朝上的概率为________． 答案：0.5　解析：掷一次硬币正面朝上的概率是0.5. 4．(基本事件计数致误)已知函数f(x)＝2x2－4ax＋2b2，若a∈{4，6，8}，b∈{3，5，7}，则该函数有两个零点的概率为________． 答案：　解析：要使