第11章 第4节 几何概型（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．几何概型 如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称几何概型． 2．几何概型的两个基本特点 3．几何概型的概率公式 P(A)＝. (1)与长度有关的几何概型，其基本事件只与一个连续的变量有关； (2)与面积有关的几何概型，其基本事件与两个连续的变量有关，若已知图形不明确，可将两个变量分别作为一个点的横坐标和纵坐标，这样基本事件就构成了平面上的一个区域，即可借助平面区域解决问题． 学霸笔记 在几何概型中，如果A是确定事件， (1)若A是不可能事件，则P(A)＝0肯定成立；如果随机事件所在的区域是一个单点，由于单点的长度、面积和体积都是0，则它出现的概率为0，显然它不是不可能事件，因此由P(A)＝0不能推出A是不可能事件． (2)若A是必然事件，则P(A)＝1肯定成立；如果一个随机事件所在的区域是从全部区域中扣除一个单点，则它出现的概率是1，但它不是必然事件，因此由P(A)＝1不能推出A是必然事件． 进阶诊断 1．判断正误 (1)几何概型中，每一个基本事件都是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等．(　　√　　) (2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形．(　　√　　) (3)随机模拟方法是以事件发生的频率估计概率．(　　√　　) (4)与面积有关的几何概型的概率与几何图形的形状有关．(　　×　　) 2．(教材习题改编)有四个游戏盘，将它们水平放稳后，在上面扔一颗玻璃小球，若小球落在阴影部分，则可中奖，小明要想增加中奖机会，应选择的游戏盘是(　　) A　解析：因为P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，所以P(A)>P(C)＝P(D)>P(B). 3．(2021·全国乙卷)在区间随机取1个数，则取到的数小于的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：设Ω＝“在区间随机取1个数”＝{x|0<x＜}，设事件A为“取到的数小于”＝{x|0<x<}，所以P(A)＝＝＝. 4．(选用的几何测度不准确致误)在区间[－2，4]上随机地取一个数x，若x满足|x|≤m的概率为，则m＝________． 答案：3　解析：由|x|≤m，得－m≤x≤m.当0<m≤2时，由题意得＝，解得m＝2.5，矛盾，舍去． 当－2<m<4时，由题意得＝，解得m＝3. 考点1　与长度(角度)有关的几何概型　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·珠海模拟)《九章算术》勾股章有一问题：“今有立木，系索其末，委地三尺．引索却行，去本八尺而索尽，问索长几何？”，其意思是：现有一竖立着的木柱，在木柱的上端系有绳索，绳索从木柱的上端顺木柱下垂后，堆在地面的部分尚有三尺，牵着绳索退行，拉直绳索，绳索头与地面接触点离木柱根部八尺处时绳索用尽，现从该绳索上任取一点，该点取自木柱中点上方的概率为(　　) A． B． C． D． B　解析：根据题设条件，作示意图如图所示，设绳索长为x尺，则木柱AB＝x－3尺，由勾股定理， 得(x－3)2＋82＝x2，解得x＝， 故所求的概率为P＝＝. 2．(2023·哈尔滨哈九中模拟)在区间[－1，1]上随机取一个数k，使直线y＝k(x＋3)与圆x2＋y2＝1相交的概率为(　　) A． B． C． D． C　解析：因为圆心(0，0)，半径r＝1，直线与圆相交， 所以圆心到直线的距离d＝<1，解得－<k<，所以相交的概率P＝＝. 3．(2023·宁夏银川模拟)如图所示，在直角坐标系内，射线OT落在30°角的终边上，任作一条射线OA，则射线OA落在∠yOT内的概率为________． 答案：　解析：如题图，因为射线OA在坐标系内是等可能分布的，所以OA落在∠yOT内的概率为＝. 方法规律 与长度、角度有关的几何概型的求法 解答关于长度、角度的几何概型问题，只要将所有基本事件及事件A包含的基本事件转化为相应长度或角度，即可利用几何概型的概率计算公式求解．要特别注意“长度型”与“角度型”的不同．解题的关键是构建事件的区域(长度或角度). 考点2　与面积有关的几何概型　　　　　　　　　　　　　　多维贯通 考向1　与平面图形面积有关的几何概型 (2023·安徽省泗县第一中学模拟)赵爽是我国汉代数学家、天文学家，他在注解《周髀算经》时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”，它被2002年国际数学家大会选定为会徽．“赵爽弦图”是以弦为边长得到的正方形，该正方形由4个全等的直角三角形加上中间一个小正方形组成类比“赵爽弦图”，可类似地构造如图所示的图形它是由3个全等的三角形与中间的一个小等边三角形拼成的一个大等边三角形，设AD＝3AF，若在大等边三角形