第11章 第5节 离散型随机变量的分布列及均值与方差（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．离散型随机变量 (1)随机变量 特点：随着试验结果的变化而变化的变量． 表示：常用字母X，Y，ξ，η，…来表示． (2)离散型随机变量的特点 所有取值可以一一列举出来． 若X是随机变量，Y＝aX＋b，a，b是常数，则Y也是随机变量． 2．离散型随机变量的分布列 (1)定义：若离散型随机变量X可能取的值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，如下表所示． X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn 称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列． (2)性质：①pi≥0(i＝1，2，…，n)； (1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值. (2)随机变量ξ所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求相关事件的概率． 3．常见的两类特殊分布列 (1)两点分布 若随机变量X服从两点分布，则其分布列为 X 0 1 P 1－p p 其中p＝P(X＝1)称为成功概率． (2)超几何分布 一般地，在含有M件次品的N件产品中，任取n件，其中恰有X件次品，则P(X＝k)＝，k＝0，1，2，…，m，即 X 0 1 … m P … 其中m＝min{M，n}，且n≤N，M≤N，n，M，N∈N*. 如果随机变量X的分布列具有上表的形式，则称随机变量X服从超几何分布． 4．离散型随机变量的均值与方差 一般地，若离散型随机变量X的分布列为 X x1 x2 … xi … xn P p1 p2 … pi … pn (1)均值 称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xipi＋…＋xnpn为随机变量X的均值或数学期望．它反映了离散型随机变量取值的平均水平． (2)方差 称D(X)＝为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，并称其算术平方根为随机变量X的标准差． 5．均值与方差的性质 (1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b． (2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数) 学霸笔记 (1)期望是算术平均值概念的推广，是概率意义下的平均． (2)E(X)是一个实数，由X的分布列唯一确定，即作为随机变量，X是可变的，可取不同值，而E(X)是不变的，它描述X取值的平均状态． (3)E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋xnpn直接给出了E(X)的求法，即随机变量取值与相应概率分别相乘后相加． 进阶诊断 1．判断正误 (1)离散型随机变量的概率分布列描述了由这个随机变量所刻画的随机现象．(　　√　　) (2)离散型随机变量的分布列中，随机变量取各个值的概率之和可以小于1.(　　×　　) (3)随机变量的均值是常数，样本的平均数是随机变量，它不确定．(　　√　　) (4)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量的平均程度越小．(　　√　　) 2．(教材习题改编)随机变量ξ的分布列如图所示，其中a，b，c成等差数列，则P(|ξ|＝1)＝(　　) ξ －1 0 1 P a b c A． B． C． D．不确定 B　解析：因为a，b，c成等差数列，所以a＋c＝2b，又有a＋b＋c＝1，解得a＋c＝. 由分布列可得P(|ξ|＝1)＝a＋c＝. 3．(忽视分布列的性质致误)设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果不正确的有(　　) A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4 C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2 B　解析：因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确； 又E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2， D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确． 4．(超几何分布类型掌握不准致误)一盒中有12个乒乓球，其中9个新的、3个旧的，从盒中任取3个球来用，用完后装回盒中，此时盒中旧球个数X是一个随机变量，则P(X＝4)＝________． 答案：　解析：{X＝4}表示从盒中取了2个旧球，1个新球，故P(X＝4)＝＝. 考点1　离散型随机变量的分布列及性质