第11章 第6节 二项分布及其应用、正态分布（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．条件概率 (1)定义 设A，B为两个事件，且P(A)＞0，称P(B|A)＝为在事件A发生的条件下，事件B发生的条件概率． (2)性质 ①条件概率具有一般概率的性质，即0≤P(B|A)≤1； ②如果B，C是两个互斥事件，则P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A). 2．事件的相互独立性 (1)定义：设A，B为两个事件，如果P(AB)＝P(A)·P(B)，则称事件A与事件B相互独立． (2)性质 ①若事件A与B相互独立， 则P(B|A)＝P(B)，P(A|B)＝P(A)， P(AB)＝P(A)P(B)． ②如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也相互独立． 3．独立重复试验与二项分布 独立重复试验 二项分布 定义 在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验 在n次独立重复试验中，用X表示事件A发生的次数，设每次试验中事件A发生的概率是p，此时称随机变量X服从二项分布，记作X～B(n，p)，并称p为成功概率 计算 公式 用Ai(i＝1，2，…，n)表示第i次试验结果，则 P(A1A2A3…An) ＝P(A1)P(A2)…P(An) 在n次独立重复试验中，事件A恰好发生k次的概率为 P(X＝k)＝Cpk·(1－p)n－k(k＝0，1，2，…，n) 二项分布与两点分布的联系：由二项分布的定义可以发现，两点分布是一种特殊的二项分布，即n＝1时的二项分布． 4．正态曲线 (1)正态曲线的定义 函数φμ，σ(x)＝，x∈(－∞，＋∞)，其中实数μ和σ(σ>0)为参数，称φμ，σ(x)的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线(μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差). (2)正态曲线的特点 ①曲线位于x轴上方，与x轴不相交； ②曲线是单峰的，关于直线 x＝μ对称； ③曲线在 x＝μ处达到峰值； ④曲线与x轴之间的面积为1； ⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着μ的变化而沿x轴平移； ⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ越小，曲线越“高瘦”，表示总体的分布越集中；σ越大，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散． 5．正态分布 (1)正态分布的定义及表示 如果对于任何实数a，b(a<b)，随机变量X满足P(a<X≤b)＝φμ，σ(x)dx(即x＝a，x＝b，正态曲线及x轴围成的曲边梯形的面积)，则称随机变量X服从正态分布，记作X～N(μ，σ2). (2)正态分布的三个常用数据 ①P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝0.682_7； ②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝0.954_5； ③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝0.997_3． 学霸笔记 1．“二项分布”与“超几何分布”的区别 有放回抽取问题对应二项分布，不放回抽取问题对应超几何分布，当总体容量很大时，超几何分布可近似为二项分布来处理． 2．两个概率公式 (1)在事件B发生的条件下A发生的概率为P(A|B)＝.注意其与P(B|A)的不同． (2)若事件A1，A2，…，An相互独立，则P(A 1 A 2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An). 3．特殊的期望和方差公式 (1)若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2). (2)若X服从二项分布，即X～B(n，p)，则E(X)＝np，D(X)＝np(1－p). 4．对于X～N(μ，σ2)，由x＝μ是正态曲线的对称轴知： (1)对任意的a有 P(X<μ－a)＝P(X>μ＋a)； (2)P(X<x0)＝1－P(X≥x0)； (3)P(a<X<b)＝P(X<b)－P(X≤a). 进阶诊断 1．判断正误 (1)条件概率一定不等于它的非条件概率．(　　×　　) (2)相互独立事件就是互斥事件．(　　×　　) (3)对于任意两个事件，公式P(AB)＝P(A)P(B)都成立．(　　×　　) (4)二项分布是一个概率分布，其公式相当于(a＋b)n二项展开式的通项公式，其中a＝p，b＝1－p.(　　×　　) (5)P(B|A)表示在事件A发生的条件下，事件B发生的概率，P(AB)表示事件A，B同时发生的概率．(　　√　　) (6)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．(　　√　　) (7)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．(　　√　　) 2．(教材习题改编)已知盒中装有3个红球、2个白球、5个黑球，它们大小、形状完全相同，现需一个红球，甲每次从中任取一个不放回，则在他第一次拿到白球的条件下，第二次拿到红球的概率为(　　) A． B． C． D． C　 解析：设A＝{甲第一次拿到白球}，B＝{甲第二次拿到红球}，则P(AB)＝×＝，P(A)＝＝， 所以P(B|A