第7章 第3节 基本不等式（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　

 

知识梳理

1．基本不等式 ≤

(1)基本不等式成立的条件：a＞0，b＞0．

(2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时取等号．

 

(1)在运用基本不等式及其变形时一定要注意验证等号是否成立．

(2)要多次运用基本不等式才能求出最后结果的题目切记等号成立的条件要一致．

2．算术平均数与几何平均数

设a>0，b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本不等式可叙述为：两个正实数的算术平均数不小于它们的几何平均数．

3．利用基本不等式求最值

已知x＞0，y＞0，

(1)如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2(简记：积定和最小).

(2)如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值(简记：和定积最大).

 

此结论应用的前提是“一正”“二定”“三相等”．“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指等号成立．

学霸笔记

(1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)；

(2)＋≥2(a，b同号)；

(3)ab≤()2(a，b∈R)；

(4)()2≤(a，b∈R)；

(5)2(a2＋b2)≥(a＋b)2(a，b∈R)；

(6)≥≥ab(a，b∈R)；

(7) ≥≥≥(a＞0，b＞0).

进阶诊断

1．判断正误

(1)两个不等式a2＋b2≥2ab与≥ 成立的条件是相同的．(　　×　　)

(2)(a＋b)2≥4ab(a，b∈R).(　　√　　)

(3)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．(　　√　　)

(4)函数y＝x＋的最小值是2.(　　×　　)

(5)x＞0且y＞0是＋≥2的充分不必要条件．(　　√　　)

2．(忽视基本不等式成立的前提)函数y＝x＋的值域为(　　)

A．(－∞，－2]

B．[2，＋∞)

C．(－∞，－2]∪[2，＋∞)

D．R

C　解析：由题意，函数y＝x＋的定义域为{x|x≠0}．

当x＞0时，y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝1时取得等号；当x＜0时，y＝x＋＝－(－x＋)≤－2 ＝－2，当且仅当x＝－1时取得等号．

综上，函数y＝x＋的值域是(－∞，－2]∪[2，＋∞).

3．(2021·全国乙卷)下列函数中最小值为4的是(　　)

A．y＝x2＋2x＋4

B．y＝|sin x|＋

C．y＝2x＋22－x

D．y＝ln x＋

C　解析：对于A，y＝x2＋2x＋4＝(x＋1)2＋3≥3，当且仅当x＝－1时取等号，所以其最小值为3，A不符合题意；

对于B，因为0＜|sin x|≤1，

y＝|sin x|＋≥2＝4，