第6章 第2节 等差数列及其前n项和（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　

 

知识梳理

1．等差数列的有关概念

(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与其前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示．符号表示为an＋1－an＝d(n∈N*，d为常数).

(2)等差中项：数列a，A，b成等差数列的充要条件是A＝，其中A叫做a，b的等差中项．

 

数列是按一定“次序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数” 有关，而且还与这些“数”的排解顺序有关．

2．等差数列的有关公式

(1)通项公式：an＝a1＋(n－1)d．

(2)前n项和公式：Sn＝na1＋d＝．

3．等差数列的性质

已知数列{an}是等差数列，Sn是其前n项和．

(1)通项公式的推广：an＝am＋(n－m)d(n，m∈N*).

(2)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak＋al＝am＋an．

(3)若{an}的公差为d，则{a2n}也是等差数列，公差为2d．

(4)若{bn}是等差数列，则{pan＋qbn}也是等差数列．

(5)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…构成等差数列．

4．等差数列与函数的关系

(1)等差数列与一次函数的关系

an＝a1＋(n－1)d可化为an＝dn＋a1－d的形式．当d≠0时，an是关于n的一次函数；当d>0时，数列为递增数列；当d<0时，数列为递减数列．

(2)等差数列前n项和公式可变形为Sn＝n2＋(a1－)n.当d≠0时，它是关于n的二次函数，且常数项为零．数列{an}是等差数列⇔Sn＝An2＋Bn(A，B为常数).

 

利用函数的性质研究数列时，需明确数列是一串离散的点，只能取正整数．

5．等差数列的前n项和的最值

在等差数列{an}中，a1>0，d<0，则Sn存在最大值；若a1<0，d>0，则Sn存在最小值．

学霸笔记

1．等差数列的判定与证明的方法

(1)定义法：an＋1－an＝d(n∈N*)或an－an－1＝d(n≥2，n∈N*)⇔{an}是等差数列；

(2)定义变形法：验证是否满足an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)；

(3)等差中项法：2an＋1＝an＋an＋2(n∈N*)⇔{an}为等差数列；

(4)通项公式法：通项公式形如an＝pn＋q(p，q为常数)⇔{an}为等差数列；

(5)前n项和公式法：Sn＝pn2＋qn(p，q为常数)⇔{an}为等差数列．

2．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质

(1)若项数为2n，

则S偶－S奇＝nd，＝；

(2)若项数为2n－1，

则S偶＝(n－1)an，S奇＝nan，

S奇－S偶＝an，＝.

3．两个等差数列{an}，{bn}的前n项和Sn，Tn之间的关系为＝.

进阶诊断

1．判断正误

(1)若一个数列从第2项起每一项与其前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　　×　　)

(2)等差数列{an}的单调性是由公差d决定的．(　　√　　)

(3)数列{an}满足an＋1－an＝n，则数列{an}是等差数列．(　　×　　)

(4)已知数列{an}的通项公式是an＝pn＋q(其中p，q为常数)，则数列{an}一定是等差数列．(　　√　　)

(5)等差数列的前n项和Sn是项数为n的二次函数．(　　×　　)

2.(2023·陕西周至调研)已知等差数列{an}满足a5＋a7＋a9＝6，则a7＝(　　)

A．3    B．2  

C．     D．－2

B　解析：由等差中项的性质可得a5＋a7＋a9＝3a7＝6，故a7＝2.

3．(2021·北京卷){an}和{bn}是两个等差数列，其中(1≤k≤5)为常值，若a1＝288，a5＝96，b1＝192，则b3＝(　　)

A．64    B．128  

C．256    D．512

B　解析：由已知条件可得＝，