第3章 第1节 导数的概念及运算（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．导数与导函数的概念 (1)f(x)在x＝x0处的导数就是f(x)在x＝x0处的瞬时变化率，记作：或f′(x0)，即f′(x0)＝ . (2)当把上式中的x0看作变量x时，f′(x)即为f(x)的导函数，简称导数，即y′＝f′(x)＝． f′(x0)与x0的值有关，不同的x0，其导数值一般也不同． 2．导数的几何意义 函数f(x)在x＝x0处的导数就是曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率，即曲线y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝f′(x0)，切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线是指P为切点，k＝f′(x0)为斜率的切线，是唯一的一条切线． 3．基本初等函数的导数公式 函数 导数 f(x)＝C(C为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xn (n∈Q，且n≠0) f′(x)＝nxn－1 (n∈Q，且n≠0) f(x)＝sin x f′(x)＝cos x f(x)＝cos x f′(x)＝－sin x f(x)＝ax (a＞0，且a≠1) f′(x)＝ax ln a (a＞0，且a≠1) f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax (a＞0，且a≠1) f′(x)＝ (a＞0，且a≠1) f(x)＝ln x f′(x)＝ 4.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． 特别地：[Cf(x)]′＝Cf′(x)(C为常数). (3)′＝(g(x)≠0)． 利用导数的运算法则求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆． 5．复合函数的导数 复合函数y＝f[g(x)]的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数之间具有关系y′x＝y′uu′x.这个关系用语言表达就是“y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积”． 6．定积分的性质 7．微积分基本定理 如果f(x)是区间[a，b]上的连续函数，并且F′(x)＝f(x)，那么f(x)dx＝F(b)－F(a)，这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式． 为了方便，常把F(b)－F(a)记成F(x)，即f(x)dx＝F(x)＝F(b)－F(a). 学霸笔记 1．可导奇函数的导数是偶函数，可导偶函数的导数是奇函数，可导周期函数的导数还是周期函数． 2．函数y＝f(x)的导数f′(x)反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其正负号反映了变化的方向，其大小|f′(x)|反映了变化的快慢，|f′(x)|越大，曲线在这点处的切线越“陡”． 3．熟记以下结论： 4．常见的原函数与被积函数的关系 进阶诊断 1．判断正误 (1)f ′(x0)与[f (x0)]′表示的意义相同．(　　×　　) (2)求f ′(x0)时，可先求f (x0)再求f ′(x0).(　　×　　) (3)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(　　√　　) (4)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　×　　) (5)微积分基本定理中的F(x)是唯一的．(　　×　　) (6)曲线y＝x2与y＝x所围成图形的面积是(x2－x)dx.(　　×　　) 2．(对“导函数值正负”与“原函数图象升降”关系不清楚致误)如图所示为函数y＝f(x)，y＝g(x)的导函数的图象，那么y＝f(x)，y＝g(x)的图象可能是(　　) 答案：D 3．一质点沿直线运动，如果由始点起经过t s后的位移为s＝t3－t2＋2t，那么速率为零的时刻是(　　) A．0 s B．1 s末 C．2 s末 D．1 s末和2 s D　解析：∵s＝t3－t2＋2t，∴v＝s′＝t2－3t＋2.令v＝0，则t2－3t＋2＝0，解得t1＝1，t2＝2.故选D. 4．(遗忘复合函数求导公式致误)函数y＝xe1－cos x的导数为__________． 答案：(1＋x sin x)e1－cos x　解析：y′＝e1－cos x＋x(e1－cos x)′ ＝e1－cos x＋xe1－cos x(1－cos x)′ ＝e1－cos x＋xe1－cos xsin x＝(1＋x sin x)e1－cos x． 考点1　导数的计算　　　　　　　　　　　　　　自主练通 1．(2023·山东日照月考)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(2)＋ln x，则f′(2)等于(　　) A． B． C． D． D　解析：∵f(x)＝2x2－3xf′(2)＋ln x， ∴f′(x)＝4x－3f′(2)＋， 将x＝2代入，得f′(2)＝8－3f′(2)＋，解得f′