第3章 第3节 导数与函数的极值、最值（Word教参）-【优化指导】2024高考数学（理科）一轮复习高中总复习·第1轮（老教材 新高考）

　 知识梳理 1．函数的极值与导数 (1)函数的极小值与极小值点 若函数f(x)在点x＝a处的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则点a叫做函数的极小值点，f(a)叫做函数的极小值． (2)函数的极大值与极大值点 若函数f(x)在点x＝b处的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b 附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则点b叫做函数的极大值点，f(b)叫做函数的极大值． (1)函数的极大值和极小值都可能有多个，极大值和极小值的大小关系不确定． (2)对于可导函数f (x)，“f ′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 2．函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a，b]上有最值的条件 一般地，如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求函数y＝f(x)在区间[a，b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 学霸笔记 1．函数极值与导数的关系 (1)f′(x0)＝0是x0为f(x)的极值点的必要不充分条件．例如，f(x)＝x3，f′(0)＝0，但x＝0不是极值点． (2)极值点不是点，若函数f(x)在x1处取得极大值，则x1为极大值点，f(x1)为极大值；在x2处取得极小值，则x2为极小值点，f(x2)为极小值．极大值与极小值之间无确定的大小关系． 2．函数极值与最值的关系 (1)极值只能在定义域内取得(不包括端点)，最值却可以在端点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极值；极值有可能成为最值，可导函数最值只要不在端点处取，则必定在极值处取． (2)若函数f(x)在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极值一定是函数的最值． (3)若函数f(x)在[a，b]上单调递增或递减，f(a)与f(b)一个为最大值，一个为最小值． 进阶诊断 1．判断正误 (1)函数的极大值不一定比极小值大．(　　√　　) (2)对可导函数f(x)，f′(x0)＝0是x0为极值点的充要条件.(　　×　　) (3)函数的极大值一定是函数的最大值．(　　×　　) (4)开区间上的单调连续函数无最值．(　　√　　) (5)若函数f(x)在区间D上单调，则f(x)在区间D上不存在极值(　　√　　) 2．(混淆f(x) 与f′(x)的极值点致误)函数f(x)的定义域为R，导函数f′(x)的图象如图所示，则函数f(x)(　　) A．无极大值点、有四个极小值点 B．有三个极大值点、一个极小值点 C．有两个极大值点、两个极小值点 D．有四个极大值点、无极小值点 答案：C 3．(教材习题改编)函数f(x)＝x3－ax2＋2x－1有极值，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，－]∪[，＋∞) B．(－∞，－)∪(，＋∞) C．(－，) D．[－，] B　解析：f′(x)＝3x2－2ax＋2，由题意知f′(x)有变号零点，∴Δ＝(－2a)2－4×3×2>0， 解得a>或a<－. 4．(误解“导数为0”与“有极值”的逻辑关系致误)函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则a的值为________，b的值为________． 答案：4　－11　解析：f′(x)＝3x2＋2ax＋b， 依题意得解得或 当时，f′(x)＝3x2＋8x－11＝(3x＋11)(x－1)， 所以f(x)在x＝1处取得极值； 当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2， 此时f(x)在x＝1无极值．所以a＝4，b＝－11. 考点1　利用导数求函数的极值问题　　　　　　　　　　　　　　多维贯通 考向1　根据函数的图象判断极值 (2023·浙江杭州模拟)如图，可知导函数y＝f(x)在点P(x0，f(x0))处的切线为l：y＝g(x)，设h(x)＝f(x)－g(x)，则下列说法正确的是(　　) A．h′(x0)＝0，x＝x0是h(x)的极大值点 B．h′(x0)＝0，x＝x0是h(x)的极小值点 C．h′(x0)≠0，x＝x0不是h(x)的极值点 D．h′(x0)≠0，x＝x0是h(x)的极值点 B　解析：由题知g(x)＝f′(x0)(x－x0)＋f(x0)， 故h(x)＝f(x)－f′(x0)(x－x0)－f(x0)， 所以h′(x)＝f′(x)－f′(x0)， 因为h′(x0)＝f′(x0)－f′(x0)＝0， 又当x<x0时，h′(x)<0， 当x>x0时，h′(x)>0， 所以x