专题17 导数与函数的极值和最值-2024年新高考数学一轮考点题型精准复习（讲义+ppt）（新高考专用）

专题17 导数与函数的极值和最值 考点一 函数（导函数）图象与极值（点）的关系 考点二 求函数的极值（点） 考点三 已知极值（点）求参数 考点四 函数最值与极值的关系辨析 考点五 求函数的最值 考点六 由函数的最值求参数 考点七 利用导数解决实际应用问题 一、函数的极值 1.极值的概念：若函数在点附近有定义， 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极大值，记作； 如果对附近的所有点都有，则称是函数的一个极小值，记作； 极大值与极小值统称为极值，称为极值点． 2.求可导函数极值的步骤 求导函数求方程的根考查在方程的根附近的左右两侧导数值的符号．如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值． 二、函数的最值 1.最值的概念： 函数的最值，即函数图象上最高点的纵坐标是最大值，图象上最低点的纵坐标是最小值，对于最值，我们有如下结论：一般地，如果在区间上函数的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值与最小值. 2.求可导函数最值的步骤： 求在内的极值（极大值或极小值）将的各极值与和比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值． 三、函数的最值与极值的关系 1.极值是对某一点附近(即局部)而言，最值是对函数的定义区间的整体而言； 2.在函数的定义区间内，极大（小）值可能有多个（或者没有），但最大（小）值只有一个（或者没有）； 3.函数的极值点不能是区间的端点，而最值点可以是区间的端点； 4.对于可导函数，函数的最大(小)值必在极大(小)值点或区间端点处取得. 考点一 函数（导函数）图象与极值（点）的关系 例1．（2023春·安徽合肥·高二合肥一中校考期中）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则下列选项中正确的是（    ） A．函数在处取得极大值 B．函数在处取得极值 C．在区间上单调递减 D．的图象在处的切线斜率大于零 【答案】AC 【分析】根据导数的图象判断函数的区间单调性和极值、处切线斜率符号判断各项正误. 【详解】由题图知：上，上， 所以在上递增，上递减，即在处取得极大值，A对； 在处函数值不是极值，B错； 在区间上单调递减，C对； 由图知：，即在处的切线斜率小于零，D错. 故选：AC 例2．（2023春·湖北武汉·高三华中师大一附中校考期中）设函数在R上可导，其导函数为，且函数的图象如图所示，则下列结论中一定成立的是（    ） A．有三个极值点 B．为函数的极大值 C．有一个极大值 D．为的极小值 【答案】C 【分析】根据x的正负以及的正负，判断的正负，得到单调性并可得到极值点. 【详解】解：，并结合其图象，可得到如下情况， 当时，，在单调递减； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递增； 当时，，在单调递减； ∴在取得极小值，在处取得极大值，只有两个极值点， 故A、B、D错，C正确； 故选: C. 例3．（2022秋·黑龙江大庆·高三大庆实验中学校考开学考试）（多选）函数的导函数是，下图所示的是函数的图象，下列说法错误的是（    ） A．是的零点 B．是的极大值点 C．在区间上单调递减 D．在区间上不存在极小值 【答案】AD 【分析】根据给定的图象，探讨值的符号，进而判断函数的性质，再逐项判断作答. 【详解】观察图象知，当或时，，当时，， 因此函数在，上单调递减，在上单调递增， 是的极小值点，而不一定为0，A不正确； 是的极大值点，B正确； ，即在区间上单调递减，C正确； 是的极小值点，在区间上存在极小值，D不正确. 故选：AD 例4．（山东省潍坊市2022-2023学年高三下学期期中数学试题）（多选）已知函数的导函数的图象如图所示，则（    ） A．有且仅有两个极值点 B．在区间上单调递增 C．若在区间上单调递增，则m的取值范围为或 D．可能有四个零点 【答案】AC 【分析】根据的图象，得出函数的单调性，结合极值点的概念和单调性，逐项判定. 【详解】根据的图象， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 当时，取得极大值，当时，取得极小值，所以A正确； 而B错误； 若在区间上单调递增，则，或， 解得或，所以C正确； 根据函数的单调性，可知函数的图象与轴最多有三个交点， 所以D错误. 故选：AC 例5．（2023春·北京·高三北京市第三十五中学校考期中）下图是函数的导函数的图象，给出下列命题: ①是函数的极值点； ②1是函数的极值点； ③在处切线的斜率小于零； ④在区间上单调递增. 则正确的命题序号是（    ） A．①② B．①③ C．①④ D．②④ 【答案】C 【分析】利用函数极值点的定义可判断命题①②的正误；利用导数的几何意义可判断命题③的正误；利用函数的单调性与导数的关系可判断命题④的正误. 【详解