专题18 分类讨论解决含参函数单调性问题-2024年新高考数学一轮考点题型精准复习（讲义+ppt）（新高考专用）

专题18 分类讨论解决含参函数单调性问题 考点一 导函数为一次函数型 考点二 导函数为二次函数型（可因式分解） 考点三 导函数为二次函数型（不可因式分解） 考点四 导函数为一次指数函数型 考点五 导函数为二次指数函数型 考点六 导函数为对数函数型 1、 含参函数单调性讨论的分类标准 ①函数类型；②开口方向；③判别式；④导数等于0有根无根；⑤两根大小；⑥极值点是否在定义域内. 2、 含参函数单调性讨论的过程 考点一 导函数为一次函数型 例1．（2023·全国·高二专题练习）设m为实数，函数.求函数的单调区间. 【答案】答案见解析 【分析】先对求导，根据m≥0和m＜0进行分类讨论，通过导数的正负以确定函数的单调性； 【详解】，函数定义域为， ， 当时，在上恒成立，函数在上单调递增； 当时，，解得，函数在上单调递增；，解得，函数在上单调递减. 例2．（2023·江西九江·统考三模）已知函数 (1)讨论f(x)的单调性： 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出导函数，分类讨论解不等式得增区间，得减区间． 【详解】（1）． 当时，，易知f(x)在R上单调递减． 当时，令，可得；令，可得且， ∴f(x)在和上单调递减，在上单调递增． 当时，令，可得且；令，可得， ∴在和上单调增，在上单调递减． 例3．（2023·全国·高二专题练习）已知函数.讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对函数求导，讨论和两种情况，即可得出函数的单调性； 【详解】由题知函数的定义域为， 当时，，此时函数在上单调递； 当时，令，得；令，得， 所以函数在上单调递增；在上单调递减； 综上，当时，在上单调递； 当时，数在上单调递增；在上单调递减. 例4．（2023春·北京昌平·高二北京市昌平区第二中学校考期中）已知函数，其中 (1)若函数在处取得极值，求的值； (2)求函数的单调区间. 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1），由题得，代入即可解出值； （2）根据恒成立，则分讨论即可. 【详解】（1）， 在处取得极值， ，即，解得， 当时，，当时，，当时，， 即函数在0处取得极值，所以. （2），且恒成立， ①当时，恒成立， 所以在上单调递减， ②当时，令，解得， （i）当时，令，解得， 令，解得， 故此时函数的单调增区间为，单调减区间为， （i i）当时，令，解得， 令，解得， 故此时函数的单调增区间为，单调减区间为， 综上，时，单调减区间为，无单调增区间， 时，单调增区间为，单调减区间为， 时，的单调增区间为，单调减区间为， 例5．（2023春·吉林长春·高二长春市第五中学校考阶段练习）已知函数. (1)求函数的单调区间； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求出函数的定义域与导数，对实数的取值进行分类讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； 【详解】（1）解：函数定义域为，. 当时，对任意的，，所以，函数的减区间为，无增区间； 当时，由得，由得. 此时函数的增区间为，减区间为. 综上所述，当时，函数的减区间为，无增区间； 当时，函数的增区间为，减区间为. 考点二 导函数为二次函数型（可因式分解） 例6．（2023·全国·高二专题练习）已知函数，.讨论函数的单调性. 【答案】答案见解析 【分析】对求导，然后分和两种情况讨论即可； 【详解】函数的定义域为， 所以. 当时，，所以在上单调递增； 当时，令得，令得， 所以在上单调递减：在上单调递增. 综上，当时，函数在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 例7．（2023·湖南长沙·长沙市明德中学校考三模）已知函数. (1)讨论函数的单调性； 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导，分为，两种情况讨论导数的正负，得出函数的单调性； 【详解】（1），令， (i)当时，时，；时，， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增； (ii)当时，时，；时，， 所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减. 例8．（山东省潍坊市2022-2023学年高二下学期期中数学试题）已知函数， (1)讨论函数的单调性; 【答案】(1)答案见解析 【分析】（1）求导，结合函数定义域为，分参数，来讨论导函数的符号即可； 【详解】（1）的定义域为， 当时，，在上单调递减； 当时，令，又因为，可解得 单调递增， 单调递减； 例9．（2023·贵州贵阳·校联考模拟预测）实数，，． (1)若恒成立，求实数的取值范围； (2)讨论的单调性并写出过程． 【答案】(1) (2)答案见解析 【分析】（1）采用分离参数，转化为函数的最值问题即可求解. (2)对分类讨论，根据单调性即可求解. 【详解】（1）由题意得，令，的定义域为， 由得：． 设，则， 当时，；当时，； 在上单