7.2.1三角函数的定义课件-2022-2023学年高一下学期数学人教B版(2019)必修第三册

第七章 任意角的概念与弧度 7.2.1 三角函数的定义 学习目标 1.理解正弦、余弦与正切的定义； 2.掌握正弦、余弦与正切在各象限的符号. α 初中时候我们学过，在一个直角三角形中，如果锐角α的对边为，邻边为b，斜边为c，则有 sinα = , cosα = , tanα = . 尝试与发现 3 思考 当α是一个锐角时，上述正弦、余弦与正切，能否通过α终边上的点的坐标来定义呢？这种定义的方式能否推广到任意角？ 4 1.任意角的正弦、余弦与正切的定义 当α是锐角时，它的终边在第象限内. 如图所示记 r = ，△OMP是一个直 角三角形，OM = x，PM = y，OP = r，由此可得 sin α = = ，cos α = = ， tan α = = . 一 P(x，y) M O x y α 5 定义： 一般地，称为角α的正弦，记作sin α；称为角α的余弦，记作cos α . 因此 sin α = ，cos α = . 当角α的终边不在y轴上时，同样可知与点P 在α终边上的位置无关，此时称为角α的正切， 记作tan α，即 tan α = . 角α的正弦、余弦与正切，都称α的为三角函数. 6 例1 已知角α的终边经过点P(2， 3)，求sin α，cos α 和 tan α . 解：设x = 2，y = 3，则 r = = = 于是 sin α = = = , cos α = = = , tan α = = . 典例精析 7 例2 求的正弦、余弦和正切. 解：如右图所示，在的终边上取点P，使得OP = 2. 作PM⊥Ox，则在 Rt△OMP中, ∠POM = π = . M 因此，MP =1，OM = ，从而可知P的坐标为(,1) ，故 sin = ，cos = ，tan = . 8 (1)求任意角α的正弦、余弦与正切,可根据定义来求； (2)当角α的终边在y轴上时，即α=(kZ)时，tan α不存在. (3)对于任意角α，都有唯一的正弦、余弦与之对应； 当α≠ (kZ)时，有唯一的正切与之对应. 名师点评 9 求下列各角的正弦、余弦和正切. (1)0； (2)π； (3). 解：(1)角0的终边在x轴的正半轴上，在x轴的正半轴上取点(1，0)， 所以 r = = 1，因此 sin 0 = = 0，cos 0 = = 1，tan 0 = = 0 . 跟踪训练 10 (2)角π的终边在x轴的负半轴上，在x轴的负半轴上取点(1，0)， 所以r = = 1，因此 sin π = = 0，cos π = = 1，tan π = = 0 . (3)角的终边在y轴的负半轴上，在y轴的负半轴上取点(0，1)， 所以 r = =1，因此 sin = = 1，cos = = 0，tan 不存在. 11 2.正弦、余弦与正切在各象限的符号 第一象限 第二象限 第三象限 第四象限 sin α + + cos α + + tan α + + 从定义与实例可以看出，任意角的正弦、余弦与正切，都既有可能是正数，也有可能是负数，还可能为0.它们的符号与什么有关？尝试自己总结出任意角的正弦、余弦与正切符号的规律. 12 上述结果可用下图直观表示 x y O + + - - sin α O x y + + - - tan α x y O + + - - cos α 一全正，二正弦三正切，四余弦 13 当角α的终边位于坐标轴上时，该角的正弦、余弦与 正切的符号是什么？ sin α cos α tan α x轴正半轴 = 0 ＞0 = 0 x轴负半轴 = 0 ＜0 = 0 y轴正半轴 ＞0 = 0 不存在 y轴负半轴 ＜0 = 0 不存在 思考 14 例3 确定下列各值的符号. （1）cos 260° ; （2） sin (); （3）tan (672°20 ) ; （4） tan 解：（1）因为260°是第三象限角，所以cos 260°＜0. （2）因为是第四象限角，所以sin ()＜0. （3）由672°20 = °20 +(2)×360，可知672°20 是 第一象限角，所以tan(672°20 )＞0 . （4）由 = +2，可知是第三象限角,所以tan 0. 15 例4 设sin＜0且tan0，确定是第几象限角. 解：因为sin＜0，所以的终边在第三、四象限，