考点21 三角恒等变换4种常见考法归类-【考点通关】备战2024年高考数学一轮题型归纳与解题策略(新高考地区专用)

考点21 三角恒等变换4种常见考法归类 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！29 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 考点一 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 （一）给角求值 （二）给值（式）求值 （三）给值求角 （四）三角函数式的化简 （五）两角和与差的正弦、余弦、正切公式的综合应用 考点二 二倍角公式 （一）给角求值 （二）给值（式）求值 （三）给值求角 （四）与同角三角函数的基本关系综合 （五）与诱导公式的综合 （六）利用二倍角公式化简求值 考点三 辅助角公式的应用 考点四 简单的三角恒等变换 （一）半角公式的应用 （二）三角恒等式的证明 （三） 三角恒等变换的综合问题 1. 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 (1)两角和与差的正弦、余弦和正切公式(和角、差角公式) C(α－β) cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β C(α＋β) cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β 记忆口诀：1、余余正正符号反2、同名相乘、加减相反3、谐音：“吃吃睡睡，颠倒黑白” S(α－β) sin(α－β)＝sin_αcos_β－cos_αsin_β(异名相乘、加减一致) S(α＋β) sin(α＋β)＝sin_αcos_β＋cos_αsin_β(异名相乘、加减一致) 记忆口诀：1、正余余正符号同2、异名相乘、加减一致3、谐音：“上错厕所，一一对应” T(α－β) tan(α－β)＝；(两式相除、上同下异)． 变形：①tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)②tan α·tan β＝－1 T(α＋β) tan(α＋β)＝；(两式相除、上同下异)． 变形：①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)②tan α·tan β＝1－ (2)二倍角的正弦、余弦、正切公式(倍角公式) 二倍角是相对的，如：是的2倍，3α是的2倍. S2α sin 2α＝2sin_αcos_α； 变形：sinαcosα＝sin2α，cosα＝， C2α cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α； 变形：cos2α＝，sin2α＝ T2α tan 2α＝（α≠kπ+且α≠+，k∈Z） 2. 简单的三角恒等变换 (1)降幂公式 sin2α＝. cos2α＝. sinαcosα＝sin2α. (2)升幂公式 1＋cosα＝2cos2. 1－cosα＝2sin2. 1＋sinα＝. 1－sinα＝(sin－cos)2. 注： (3) 万能公式 (4)其他常用变式 3. 辅助角公式（同角异名1次） asinα＋bcosα＝sin(α＋φ)， 其中cosφ＝，sinφ＝，或tanφ＝. 其中φ称为辅助角，它的终边所在象限由点（a，b）决定． 4. 半角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin＝±. (2)cos＝±. (3)tan＝±＝＝. 5. 常用的拆角、拼角技巧 (1)15°＝45°－30°＝60°－45°＝. (2)，α＝(α＋β)－β＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)， β＝－＝(α＋2β)－(α＋β). α－β＝(α－γ)＋(γ－β) (3)－α＝－，－α＝－， ＋α＝π－，＋α＝π－. ＋α＝－ 6. 应用和、差、倍角公式化简求值的策略 (1)首先要记住公式的结构特征和符号变化规律．例如两角差的余弦公式可简记为：“同名相乘，符号反”； (2)注意与同角三角函数基本关系、诱导公式的综合应用； (3)注意配方法、因式分解和整体代换思想的应用．　 7. 和、差、倍角公式的逆用和变形用的应用技巧 (1)逆用公式应准确找出所给式子与公式的异同，创造条件逆用公式； (2)和差角公式变形： sin αsin β＋cos(α＋β)＝cos αcos β； cos αsin β＋sin(α－β)＝sin αcos β； tan α±tan β＝tan(α±β)·(1∓tan α·tan β)； (3)倍角公式变形：降幂公式． (4)tan αtan β，tan α＋tan β(或tan α－tan β)，tan(α＋β)(或tan(α－β))三者中可以知二求一，且常与一元二次方程根与系数的关系结合命题．　 8. 解决非特殊角求值问题的基本思路有： ①化非特殊角为特殊角； ②化为正负相消的项，消去后求值； ③化分子、分母使之出现公约数，进行约分求值； ④当有α，2α，3α，4α同时出现在一个式子中时，一般将α向2α，3α(或4α)向2α转化，再求关于2α式