3.3.1指数函数的概念 教案-2022-2023学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

第3章 指数运算与指数函数 3.3.1 指数函数的概念 · 教学目标 (1)知识目标： 掌握指数函数的定义；通过指数函数的图象，归纳出指数函数的性质；利用指数函数的性质在不等式、方程问题中的应用. (2)核心素养目标： 通过指数函数概念、图象和性质的学习，使学生掌握研究函数的一般方法，提高学生的数学抽象和逻辑推理能力. · 教学重难点 · 重难点： (1) 指数函数的概念； (2) 指数函数的图象和性质； (3) 指数函数性质以及利用指数函数的单调性比较实数大小、解不等式等方面的应用. · 课前准备 PPT课件 · 教学过程 一、指数函数概念探究 曾经有人断言，一张A4纸，不可能将其对折超过8次，是不是这样呢？ 让我们来计算一下，一张标准A4纸，规格为长29.7cm，宽21cm，厚度大约0.01cm，折叠8次，纸的长度变为29.7×cm，厚度变为0.01×cm，这时纸的长度已经小于厚度了，无法再折叠了。 问题1:假设一张厚度0.01cm的A4纸可以无限折叠下去，那么折叠30次的高度大约是多少？折叠50次呢？ 师生活动：小组合作讨论，通过对折白纸得出对折次数与所得层数的关系；通过观察绳子的变化，得出剪的次数与剩下的绳长之间的关系. 预设的答案：折叠30次，厚度为0.01×km，大约是12个珠穆朗玛峰的高度了；折叠50次，厚度为0.01×km，约为1.13亿km，地球与太阳的距离约1.5亿km，已接近地球与太阳的距离了。 设计意图：通过探究折纸问题与剪绳问题，导入新课. 问题2: (1)上面的两个关系式是我们之前学过的某一函数吗？ (2)那它们是函数吗？ (3)有何共同特征？ 师生活动：思考问题2，并回答问题,教师引入指数函数的定义,对于给定正数，且时，对于任意的实数，都有唯一确定的与之对应.因此是一个定义在实数集上的函数,称为指数函数.其中是自变量，且.指数函数的定义域为,值域为. 预设的答案：(1)不是学过的函数;(2)是函数，为自变量，为因变量，随的变化而变化;(3)函数解析式都是指数形式，底数为定值，且自变量在指数位置. 设计意图：通过对这三个问题的思考，抽象出指数函数的概念，体现了数学抽象与直观想象的核心素养. 问题3：知道了指数函数的定义，我们能够判断出怎样的函数叫做指数函数吗？ 师生活动：教师引导学生从形式定义入手，由指数函数的定义(且)可知，在形式上需从指数，底数，系数三方面说明，学生思考判断函数为指数函数的依据，并发表自己的见解. 预设的答案： 1.指数为单一的 2.大于0且不等于1 3.系数为1，且不含其它项 设计意图：学生通过对形式定义的理解，思考判断函数为指数函数的依据. 问题4：判断下列函数哪些为指数函数？ 师生活动：学生独立完成，教师强调判断技巧，判断某些函数是否为指数函数，要看它等价化简之后的形式. 预设的答案: 是指数函数.其它都不是. 设计意图：加深对指数函数的定义的理解，运用判断依据判断哪些函数为指数函数，再次强调判断依据. 问题5：为什么规定底数且？ 师生活动：学生思考，以四人为一组讨论，并进行分享. 预设的答案: 若，中不能取像这样的数，此时，函数图象不连续，若，则函数即为，图象过于简单，没有研究的价值. 设计意图：培养学生合作探究以及逻辑推理的能力. 2、 指数函数(且)的图象和性质探究 问题6：如何讨论一个函数的性质，用什么方法？从什么角度？ 预设的答案:（用华罗庚的名言“数缺形时少直观，形缺数时难入微，数形结合百般好，割裂分家万事休”引出数形结合法研究函数的性质） 教师：指数函数的图象是怎样的？有怎样的性质呢？首先让我们研究一下底数大于1的情形。 动手实践1：作出指数函数、的图象. 列表、描点、连线得函数的图象如图 … … … … 同理可作出指数函数的图象 预设的答案: 问题7：两个函数图象有什么共同特征？ 师生活动：学生合作讨论，小组代表回答，教师点拨补充. 预设的答案: 定义域为,值域为;图象过点,函数在上是增函数，当时，当时；当时，；当时， ，当时， . 设计意图：从特殊到一般，为引入指数函数性质作铺垫，培养学生的观察能力 . 规律总结：一般的，指数函数，当时 ①定义域为，值域为，图象过定点； ②函数在上是增函数，当时，当时； ③对于指数函数和（），当时,;当时;当时. 动手实践2：作出指数函数的图象. 列表、描点、连线得函数的图象如图 … -3 -2 -1 0 1 2 3 … … … 同理可作出指数函数的图象 问题8：这两个函数图象有什么共同特征？ 师生活动：学生合作讨论，小组代表回