广东省广州市华南师范大学附属中学2023届高三下学期5月月考数学试题

华南师大附中 2022-2023 学年高三 5 月月考 数学参考答案 一、单选题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C B C D A C A 4：解：若𝒂, 𝒃, 𝒄均为非零向量，则𝒂, 𝒃, 𝒄共线或互相两两垂直，可能有 0 组或 3 组。若 其中一个为零向量，另外两组向量不共线，则(𝒂 · 𝒃)𝒄 = (𝒂 · 𝒄)𝒃 = (𝒃 · 𝒄)𝒂 = (𝒃 · 𝒂)𝒄 = (𝒄 · 𝒂)𝒃 = (𝒄 · 𝒃)𝒂 = 𝟎，零向量与另外两个向量组成两组共线向量，可以为 2组， 故选 C。 6：解：9 名同学共需分成 3 组，每组 3 人，而组与组之间可以互换，则总共可能的方 案数为 𝐶9 3𝐶6 3𝐶3 3 𝐴3 3 = 280组。 8：解： 如图所示，由对称性可知𝐹′𝑃//𝐷𝐹且𝐹′𝑃 = 𝐷𝐹，显然𝐹′𝑃 ⊥ 𝑃𝐺。设𝐹𝐺 = 𝑚，𝐹𝑃 = 4𝑚，由椭圆焦点三角形的性质可知𝐹𝑃 = 2𝑎 − 4𝑚，𝐹𝐺 = 2𝑎 − 𝑚，在𝑅𝑇∆𝐹′𝑃𝐺中可以 由勾股定理解出𝑎 = 3𝑚，而在𝑅𝑇∆𝐹′𝑃𝐹中可以由解出𝑐 = √5𝑚，因此有𝑒 = 𝑐 𝑎 = √5 二、多选题 题号 9 10 11 12 答案 AD CD BCD ABD 9：由题得，𝑂1在 AD 中点，若𝑃𝑂1 ⊥ 𝐴𝐵则𝑃𝑂1⃗⃗ ⃗⃗ ⃗⃗ ⃗无竖直方向上的分量，为∆𝐴𝐶𝐷中位线， D 选项正确。当 P 与 A 重合时，μ可以取任意实数，排除 B，当 P 与 C 点重合时，BC 显然与 AD 不垂直，排除 C。 11：解：由题得𝑓’(𝑥) − 𝑔’(𝑥) ≥ 0恒成立，即𝑎𝑒𝑎𝑥 ≥ ln (𝑥 + 2 𝑎 ) + 2 𝑒𝑙𝑛𝑎+𝑎𝑥 − 2 ≥ ln(𝑎𝑥 + 2) − 𝑙𝑛𝑎 𝑒𝑙𝑛𝑎+𝑎𝑥 + (𝑙𝑛𝑎 + 𝑎𝑥) ≥ ln(𝑎𝑥 + 2) + 𝑎𝑥 + 2 由𝑙𝑛𝑥 + 𝑥 = 𝑒𝑙𝑛𝑥 + 𝑙𝑛𝑥得 𝑒𝑙𝑛𝑎+𝑎𝑥 ≥ 𝑎𝑥 + 2即为𝑎𝑒𝑎𝑥 ≥ 𝑎𝑥 + 2 得(𝑎𝑒𝑎𝑥 ≥ 𝑎𝑥)𝑚𝑖𝑛 ≥ 2，求导可得𝑥 = − 𝑙𝑛𝑎 𝑎 时取最小值，解得𝑎 ≥ 𝑒，故选 BCD 12：解： 𝑃(𝑋 = 𝑘) − 𝑃(𝑋 = 𝑘 + 1) ∈ [0,1) 𝑃(𝑋 = 1) > 𝑃(𝑋 = 2)，排除 C，而在( 1 2 , 1)上均符合题意，故选 ABD 三、填空题 题号 13 14 15 16 答案 320 19 27 2 3 0 或− 1 𝑒 ,( 2 𝑒 , +∞) 16：解：若𝑎 = 0，𝑔(𝑥) = 0，最小值为0，若𝑎 ≠ 0则令𝑎𝑥 = 𝑏，求导可知𝑏 = −1时 𝑔(𝑥)𝑚𝑖𝑛 = − 1 𝑒 𝑓(𝑥) = 𝑒 (√𝑥+ 1 2 )𝑙𝑛𝑥 ∙ 𝑙𝑛𝑥 = √𝑥𝑙𝑛𝑥 ∙ 𝑒√𝑥𝑙𝑛𝑥，则问题等价于√𝑥𝑙𝑛𝑥 = 𝑎𝑥无解时𝑎的取值范 围。令𝑎 = ℎ(𝑥) = √𝑥𝑙𝑛𝑥 𝑥 ，求导可得其在𝑥 = 𝑒2时取最大值 2 𝑒 ，且𝑥 → 0时ℎ(𝑥) → −∞， 因此𝑎 > 2 𝑒 时无解，即为题目所求。 四、解答题 17：解：（1）由正弦定理变形可得，𝑎2 = 𝑏2 + 𝑐2 − √3𝑏𝑐 由余弦定理，√3𝑏𝑐 = 2𝑏𝑐𝑐𝑜𝑠𝐴, 𝑐𝑜𝑠𝐴 = √3 2 A ∈ (0, 𝜋)，得𝐴 = 𝜋 6 （2）sin (𝛼 − 𝜋 6 ) = ± 2√2 3 sin (2𝛼 − 𝜋 3 ) = ± 4√2 9 sin(2𝛼 + 𝐴)= sin (2𝛼 + 𝜋 6 ) = sin (2𝛼 − 𝜋 3 + 𝜋 2 ) = ±√1 − sin2 (2𝛼 − 𝜋 3 ) = ± 7 9 18：解：（1）因式分解得(𝑎𝑛 + 𝑎𝑛−1) (𝑎𝑛 − 𝑎𝑛−1 𝑛 ) = 0 𝑎𝑛 = −𝑎𝑛−1或𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 𝑛 𝑎𝑛 > 0得𝑎𝑛 = 𝑎𝑛−1 𝑛 𝑎1 = 1, 𝑎2 𝑎1 = 1 2 , 𝑎3 𝑎2 = 1 6 … 累乘可得𝑎𝑛 = 1 𝑛! （2）令𝑓