2023九年级数学中考复习 二次函数综合

2023九年级数学中考复习 二次函数综合 等腰三角形的存在性问题 1．如图，以原点为圆心的圆与轴正半轴交于点，与二次函数图象的对称轴交于、，直线、交于点，若． （1）求的半径； （2）若二次函数图象的顶点为，且是等腰三角形．求二次函数的表达式． 2．如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴相交于点，，与轴相交于点．若二次函数的图象经过点，． （1）求二次函数的解析式； （2）当时，求二次函数最大值与最小值的差； （3）在二次函数图象上任取一点，其横坐标为．点在二次函数图象的对称轴上．若以点，，为顶点三角形是以为直角的等腰三角形．求点的坐标． 3．如图，二次函数，，为常数，的图象经过点和点，与一次函数的图象交于点，一次函数的图象与反比例函数的图象在第一象限交于点． （1）求一次函数与二次函数的解析式； （2）在二次函数图象的对称轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形是等腰三角形，若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由． 4．如图，已知二次函数的图象经过点，且与轴交于原点及点，点为抛物线的顶点． （1）求二次函数的表达式； （2）在抛物线的对称轴上是否存在点，使是等腰三角形？如果存在，请求出点的坐标．如果不存在，请说明理由； （3）若点为上的动点，且的半径为，求的最小值． 5．如图，二次函数的图象与轴交于点、，与轴交于点，抛物线的顶点为，连接，点为线段上的一个动点． （1）求二次函数的解析式． （2）过点作轴的垂线，垂足为点，求四边形面积的最大值． （3）是否存在点，使得以、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由． 6．如图，关于的二次函数的图象与轴交于点和点，与轴交于点，抛物线的对称轴与轴交于点． （1）求二次函数的解析式． （2）有一个点从点出发，以每秒1个单位的速度在上向点运动，另一个点从点与点同时出发，以每秒2个单位的速度在抛物线的对称轴上运动，当点到达点时，点、同时停止运动，问点、运动到何处时，面积最大，试求出最大面积． （3）在轴上是否存在一点，使为等腰三角形？若存在，请直接写出点的坐标，若不存在请说明理由． 7．如图，二次函数的图象交轴于，两点，交轴于点． （1）求二次函数的解析式； （2）点为第一象限抛物线上一个动点，轴于点．交直线于点，过点作于点．连接； ①若为以为腰的等腰三角形，求点的横坐标； ②点为点关于的对称点，当点落在坐标轴上时，直接写出点的坐标． 8．如图，二次函数的图象与轴交于，，与轴交于点．若点，同时从点出发，都以每秒1个单位长度的速度分别沿，边运动，其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动． （1）直接写出二次函数的解析式； （2）当，运动到秒时，将沿翻折，若点恰好落在抛物线上点处，求出点坐标； （3）当点运动到点时，点停止运动，这时，在轴上是否存在点，使得以，，为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请直接写出点坐标；若不存在，请说明理由． 9．二次函数的图象与轴交于两点、，与轴交于点，且、． （1）求此二次函数的表达式； （2）①如图1，抛物线的对称轴与轴交于点，，垂足为，点，，动点在线段上运动，连接、、，若以点、、为顶点的三角形与相似，求点的坐标； ②如图2，点在抛物线上，且点的横坐标是1，将射线绕点逆时针旋转，交抛物线于点，求点的坐标； （3）已知在轴上，为二次函数对称轴上一点，且为等腰三角形，若符合条件的恰好有2个，直接写出的坐标． 10．在平面直角坐标系中，一次函数的图象经过点，交轴于点，二次函数的图象经过点，且对称轴为直线． （1）请求出，，的值； （2）点为抛物线的顶点，在轴上是否存在点，使得以点、、为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，直接写出点的坐标，不必说明理由；若不存在，请说明理由； （3）将直线向下平移个单位，使得直线与抛物线有且只有一个交点，求的值； （4）点在轴上，且位于点下方，点在二次函数的图象上，点在一次函数的图象上，使得以点、、、为顶点的四边形是菱形，求点的坐标． 11．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于、两点，其顶点的坐标为． （1）求、的值； （2）如图1，点是该二次函数图象的对称轴上的一个动点，连接、，当是以为腰的等腰三角形时，求点的坐标； （3）如图2，是该二次函数图象上的位于第一象限内的一个动点，连接，与对称轴交于点，点在上，满足，设点的横坐标为； ①请用含的代数式表示点的坐标　　，　　； ②连接，，当的面积为15时，求点的坐标； ③当时，直接写出点的横坐标． 答案版： 1． 【解答】解：（1）如图1， 作，交的延长线于， ， ， 同理可得， ， ， ，抛物线的对称轴为直线， ， ， ， ， 的半径为3； （2）， ，，， ， ， ，， 设， ， ，，， 当时， ， ， ， 或， 当时， ， ， ，