第28章 锐角三角函数 重点考点期末复习（突破卷）-2022-2023学年人教版九年级下学期数学

第28章 锐角三角函数 重点考点期末复习突破卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 选择题共10题，每题3分，共30分 1、 单选题(共30分) 1．（2023·广东广州·统考一模）如图，已知直线与轴交于点A，点与点A关于轴对称．是直线上的动点，将绕点顺时针旋转得．连接，则线段的最小值为（    ）． A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】设直线与y轴的交点为E，再取的中点D，连接，过B作于H点．根据直线解析式求出点A和点E的坐标，然后再证明为等边三角形．再结合旋转的性质和等边三角形的性质，并利用证明，得出．由A为定点，为定值，即说明当M在直线上运动时，点N也在定直线上运动，即得出当点N与点H重合时，最短．结合轴对称的性质可求出，进而可利用锐角三角函数求出，即的最小值为3． 【详解】解：如图，设直线与y轴的交点为E，再取的中点D，连接，过B作于H点． 对于，令，则， ∴． 令，则， ∴． ∴，． ∵， ∴， ∵的中点为D， ∴， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴． 由旋转的性质可知，， ∴，即， ∴， ∴． ∵A为定点，为定值， ∴当M在直线上运动时，点N也在定直线上运动， ∴当点N与点H重合时，最短． ∵点与点A关于轴对称， ∴， ∴． ∵， ∴，即的最小值为3． 故选A． 【点睛】本题考查旋转的性质、轴对称的性质，三角形全等的判定和性质、等边三角形的判定和性质、勾股定理、解直角三角形以及一次函数等知识点，解题的关键是确定点N在定直线上，通过垂线段最短的性质求BN的最小值． 2．（2021秋·江苏无锡·九年级江苏省锡山高级中学实验学校校考阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点A在一次函数y＝x位于第一象限的图象上运动，点B在x轴正半轴上运动，在AB右侧以它为边作矩形ABCD，且AB＝2，AD＝1，则OD的最大值是（　　） A． B．+2 C．+2 D． 【答案】B 【分析】作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G，易得∠APH＝∠AOB，解直角三角形求得PH＝2，然后根据三角形三边关系得出OD取最大值时，OD＝OP+PD，据此即可求得． 【详解】解：∵点A在一次函数y＝x图象上，∴tan∠AOB＝， 作△AOB的外接圆⊙P，连接OP、PA、PB、PD，作PG⊥CD，交AB于H，垂足为G， ∵四边形ABCD是矩形， ∴AB∥CD，四边形AHGD是矩形， ∴PG⊥AB，GH＝AD＝1， ∵∠APB＝2∠AOB，∠APH＝∠APB，AH＝AB＝＝DG， ∴∠APH＝∠AOB， ∴tan∠APH＝tan∠AOB＝， ∴＝， ∴PH＝1， ∴PG＝PH+HG＝1+1＝2， ∴PD＝＝＝， ∴OP＝PA＝＝＝2， 在△OPD中，OP+PD≥OD， ∴OD的最大值为：OP+PD＝2+， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，圆周角定理，垂径定理，三角函数的定义以及勾股定理的应用，三角形三边关系等知识点，正确作出辅助线是解题的关键． 3．（2023·河北衡水·校联考二模）如图，在中，，，，以点为圆心，2为半径作，与交于点，点是上一点，连接，根据尺规作图得到点，连接，，当，重合时，点也与点重合，有下列两种说法： I：的最大值为2； II：的面积的最大值为7． 下列判断正确的是（    ） A．I，II都正确 B．I，II都不正确 C．I正确，II不正确 D．I不正确，II正确 【答案】A 【分析】由图形和题意可得到，可判断I；取的中点C，连接，，，则点M在以C为圆心，1为半径的圆上，过C作于H，利用勾股定理和正弦定义求得，然后求得当M、C、H共线即时，有最大值为，进而可判断II． 【详解】解：由作图可知，垂直平分， 由题意，当点Q与点P不重合时，， 当点Q与点P重合时，，则， ∴的最大值为2，故I正确； 取的中点C，连接，，则，， ∵，∴， ∵M、C为、的中点， ∴， 则点M在以C为圆心，1为半径的圆上，过C作于H，如图， ∵在中，，，， ∴， ∵， ∴， 当M、C、H共线即时，的最大值为， 则的面积的最大值为， 故II正确， 故选：A． 【点睛】本题考查尺规作线段垂直平分线、三角形的中位线性质、圆的基本知识、解直角三角形等知识，理解题意，正确得到点M的运动路线是解答的关键． 4．（2023·安徽黄山·校考模拟预测）如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于点A，C两点，与y轴交于点B，对称轴与x轴交于点D，若P为y轴上的一个动点，连接，则的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作射线，作于E，作于F，交y轴于，可求得，从而得出，进而得出，进一步得出结