7. 2 等 差 数 列-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

7. 2　 等 差 数 列 考点一　等差数列的概念及通项公式 1. 等差数列的定义 文字表述 一般地,如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的 前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就 叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公 差通常用字母 d 表示 符号表述 an - an-1 = d(n ≥ 2,n ∈ N∗ ) 或 an+1 - an = d(n ∈ N∗ ) 2. 等差数列的通项公式 设{an} 是等差数列,a1 是首项,d 是公差,则 an = a1 + (n - 1)d,an = am + (n - m)d(m, n ∈ N∗) . 3. 等差中项 如果 a,A,b成等差数列,那么A叫做 a与 b的 等差中项,其中 A = a + b 2 . 4. 等差数列与一次函数的关系 等差数列的通项公式 an = a1 + (n - 1)d 可 整理为 an =dn + (a1 - d) . 令 A = d,B = a1 - d,则 an =An + B. 当d≠0时,点(n,an) 为一次函数 y = Ax + B 图象上一群孤立的点. 考点二　等差数列的前 n项和 1. 等差数列的前 n 项和公式 Sn = n(a1 + an) 2 = na1 + n(n - 1) 2 d. 2. 等差数列的前 n 项和与二次函数的关系 等差数列的前 n 项和公式 Sn = na1 + n(n - 1) 2 d 可整理为 Sn = d 2 n2 + a1 - d 2( ) n. 令 A = d 2 ,B = a1 - d 2 ,则 Sn =An2 + Bn. 当 d ≠ 0 时, 点(n,Sn) 为二次函数 y = Ax2 + Bx图象上一群孤 立的点. 考点三　等差数列的性质 1. 等差数列的常用性质 已知数列{an}, {bn} 是等差数列,Sn,Tn 分 别是数列{an},{bn} 的前 n 项和. (1) 若m + n = p + q,那么 am + an = ap + aq(m,n,p,q ∈ N∗). (2){pan + qbn} 也是等差数列. (3)ak,ak+m,ak+2m,…(k,m ∈ N∗) 组成公差 为 md 的等差数列. (4) 若 Sm = n,Sn = m,其中 m,n 为不相等的 正整数, 则 Sm+n =- (m + n); 若 Sm = Sn, 则 Sm+n = 0. (5) Sn n{ } 成等差数列,其首项与{an} 首项相 同,公差是{an} 公差的 1 2 . (6)Sm,S2m - Sm,S3m - S2m 成等差数列. (7) 设 S偶 为等差数列{an} 偶数项的和,S奇 为等差数列{an} 奇数项的和. ① 若{an} 的项数为 2n,则 S偶 - S奇 = nd, S奇 S偶 = an an+1 ; ② 若{an} 的项数为 2n - 1,则 S偶 = (n - 1)an,S奇 = nan,S奇 -S偶 = an, S奇 S偶 = n n - 1 . (8) an bn = S2n-1 T2n-1 . 2. 等差数列的单调性 设等差数列{an} 的公差为 d,则当 d > 0 时, 数列{an} 为递增数列;当 d < 0 时,数列{an} 为 递减数列;当 d = 0 时,数列{an} 为常数列. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 29　　　直击双 1流　高考数学 题型一　求等差数列中的基本量 例 1 已知等差数列{an} 的前 n 项和为 Sn, 若 S17 = 51,则 2a10 - a11 = 　 ( 　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 设等差数列{an} 的公差为 d. 因为 S17 = 51, 所以 S17 = 17(a1 + a17) 2 = 17a9 = 51,解得 a9 = 3, 所以 2a10 - a11 = 2(a9 + d) - (a9 + 2d) = 3. B 例 2 (2022届安徽淮南一中测试) 已知等差 数列{an} 的前m项(m为偶数) 和为 126,其中偶 数项之和为 69,且 am -a1 = 20,则数列{an} 的公 差为 (　 　 ) A. - 4 B. 4 C.