6. 4 复 数-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

6. 4　 复 　 　 数 考点一　复数的概念 1. 复数的有关概念 名称 内容 备注 复数的概念 形 如 a + bi(a,b ∈ R) 的数叫复数,其中 a 为实部,b 为虚部,i 为 虚数单位且 i2 = - 1 若 b = 0,则 a + bi 为实 数;若b≠0,则a + bi 为 虚数;若a = 0且b≠0, 则 a + bi 为纯虚数 复数相等 a + bi = c + di⇔a = c且 b = d(a,b,c,d ∈R) 复数相等的充要条件 是两个复数的代数形 式的 实 部 与 实 部 相 等,虚部与虚部相等 共轭复数 a + bi 与 c + di 共轭 ⇔ a = c且 b = - d(a,b,c, d ∈ R) 一般地, 当两个复数 的实部相等, 虚部互 为相反数时, 这两个 复数互为共轭复数 复平面 建立平面直角坐标系 来表示复数的平面叫 做复平面,x 轴叫做实 轴,y 轴叫做虚轴 实轴上的点都表示实 数;除原点外,虚轴上的 点都表示纯虚数;各象 限内的点都表示虚数 复数的模 设OZ→ 对应的复数为 z = a + bi, 则向量OZ→ 的长度叫做复数 z = a + bi(a,b ∈ R) 的模, 即复数 a + bi 的模表示 点 Z(a,b) 与原点 O 的 距离 | z | = | a + bi | = a2 + b2 (a,b ∈ R) 2. 复数的几何意义 复数集 C 和复平面内所有的点构成的集合 是一一对应的,复数集 C 与复平面内所有以原点 O 为起点的向量构成的集合也是一一对应的,即 ① 复数 z = a + bi 一一对应复平面内的点Z(a, b)(a,b ∈R). ② 复数 z = a + bi(a,b∈R) 一一对应平面向 量OZ→. 考点二　复数的运算 1. 复数的四则运算 设 z1 = a + bi,z2 = c + di(a,b,c,d ∈ R),则 ① 加法:z1 + z2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i; ② 减法:z1 - z2 = (a + bi) - (c + di) = (a - c) + (b - d)i; ③ 乘法:z1·z2 = (a + bi)·(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i; ④ 除法: z1 z2 = a + bi c + di = (a + bi)(c - di) (c + di)(c - di) = (ac + bd) + (bc - ad)i c2 + d2 (c + di ≠ 0) . 2. 复数的运算定律 (1) 复数的加法满足交换律、结合律,即对任 意的 z1,z2,z3 ∈ C,有 z1 + z2 = z2 + z1,(z1 + z2) + z3 = z1 + (z2 + z3) . (2) 复数的乘法满足交换律、结合律、分配律,即 对任意的 z1,z2,z3 ∈ C, 有 z1z2 = z2z1, (z1z2)z3 = z1(z2z3),(z1 + z2)z3 = z1z3 + z2z3. 3. 复数加、减法的几何意义 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 78第六章　平面向量及其应用、复数 　　　 题型一　复数的概念 例 1 (2023 届北京模拟) 以 - 5 + 2i 的虚 部为实部,以 5 i + 2i2 的实部为虚部的新复数为 (　 　 ) A. 2 - 2i B. - 5 + 5 i C. 2 + i D. 5 + 5 i 易知 - 5 + 2i 的虚部为 2, 5 i + 2i2 =- 2 + 5 i 的实部为 - 2, 则新复数的实部为 2,虚部为 - 2, 故新复数为 2 - 2i. A 题型二　复数的运算 例 2 (2023 届浙江模拟) 若复数 z = 1 - i 1 + i ,i 是虚数单位,则 | z | = (　 　 ) A. 0 B. 1 2 C. 1 D. 2 ∵ z = 1 - i 1 + i = (1 - i) 2 (1 + i)(1 - i) = - 2i 2 =- i, ∴ | z | =| - i | = 1. C 例 3 (2023 届郑州一中摸底) 已知复数 z = 1