6. 3 平面向量的应用-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

6. 3　 平面向量的应用 考点一　平面几何中的向量方法 1. 由于向量的线性运算和数量积运算具有 鲜明的几何背景及平面几何图形的许多性质,如 全等、相似、长度、夹角等都可以由向量的线性运 算及数量积表示出来,因此平面几何中的许多问 题都可用向量运算的方法加以解决. 2. 在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为 a,b,c. ①O 为 △ABC 重心 ⇔OA→ +OB→ +OC→ = 0. ②O 为 △ABC内心 ⇔aOA→ + bOB→ + cOC→ = 0. ③O 为 △ABC外心 ⇔ | OA→ | =| OB→ | =| OC→ | . ④O 为△ABC垂心⇔OA→·OB→=OB→·OC→=OC→· OA→. 考点二　余弦定理、正弦定理 1. 余弦定理 三角形中任何一边的平方,等于其他两边平 方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两 倍,即 a2 = b2 + c2 - 2bccos A, b2 = a2 + c2 - 2accos B, c2 = a2 + b2 - 2abcos C. 由余弦定理,可以得到如下推论: cos A = b 2 + c2 - a2 2 bc , cos B = a 2 + c2 - b2 2ac , cos C = a 2 + b2 - c2 2ab . 2. 正弦定理 在一个三角形中,各边和它所对角的正弦的 比相等,即 a sin A = b sin B = c sin C . 　 　 在 △ABC 中,若内角 A,B,C 所对的边分别是 a,b,c,则 (1)a > b⇔A > B⇔sin A > sin B. (2) 在斜三角形 ABC 中,tan A + tan B + tan C = tan A· tan Btan C. (3)a = bcos C + ccos B;b = acos C + ccos A;c = bcos A + acos B. 3. 解三角形 一般地,△ABC的三个角 A,B,C和它们的对 边 a,b,c 叫做 △ABC 的元素. 已知三角形的几个 元素求其他元素的过程叫做解三角形. 基本类型 一般解法 解的 个数 已 知 两 角 及 其 中 一 角 的对边, 如 A, B,a (1) 由 A + B + C = 180°,求 C; (2) 根 据 正 弦 定 理 a sin A = b sin B 及 a sin A = c sin C ,求 b,c. 如果已知的是两角和它们的夹边,如 A,B,c, 也是先求第三个角 C,然后按(2) 来求边,求 解中尽可能应用已知元素,以减小误差 一解 已 知 两 边 及 其 夹角,如 a,b,C (1) 根据余弦定理 c2 = a2 + b2 - 2abcos C, 求 c; (2) 根据 cos A = b 2 + c2 - a2 2bc ,求 A; (3) 根据 B = 180° - (A + C),求 B. 求出第三边后,也可用正弦定理求角,这 样往往可以使计算简便,应用正弦定理求 角时,为了避开讨论(因为正弦函数在区 间(0,π) 上是不单调的),应先求较小边 所对的角,因为它必是锐角 一解 已知 三边 可以连续用余弦定理的推论求出两角,再 由 A + B + C = 180° 求第三个角. 由余弦定理的推论求出一个角后,也可以 根据正弦定理求出第二个角,但应先求较 小边所对的角 一解 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 18第六章　平面向量及其应用、复数 　　　 续表 基本类型 一般解法 解的 个数 已 知 两 边 及 其 中 一 边 的对角, 如 a,b,A (1) 根据正弦定理,经讨论求 B; (2) 求出 B后,由 A + B + C = 180°,求 C; (3) 再根据正弦定理 a sin A = c sin C ,求 c. 也可以根据余弦定理,列出以边 c 为元的 一元二次方程 c2 - (2bcos A)c + (b2 - a2 ) = 0,根据一元二次方程的解法,求 c, 然后应用正弦定理或余弦定理,求出其他 元素 两解