6. 2 平面向量基本定理及坐标表示-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

6. 2　 平面向量基本定理及坐标表示 1. 平面向量基本定理 如果 e1,e2 是同一平面内的两个不共线向量, 那么对于这一平面内的任一向量 a,有且只有一对 实数λ1,λ2,使a = λ1e1 + λ2e2.若e1,e2 不共线,我 们把{e1,e2} 叫做表示这一平面内所有向量的一 个基底. 2. 平面向量的坐标表示 在平面直角坐标系中,设与 x 轴、y 轴方向相 同的两个单位向量分别为 i,j,取{ i,j} 作为基底. 对于平面内的一个向量 a,由平面向量基本定理 知,有且只有一对实数 x,y,使得 a = xi + yj. 这样, 平面内的任一向量 a 都可由 x,y 唯一确定,我们 把有序数对(x,y) 叫做向量 a 的坐标,记作 a = (x,y),其中 x叫做 a在 x轴上的坐标,y叫做 a在 y轴上的坐标,a = (x,y) 叫做向量 a的坐标表示. 3. 平面向量线性运算的坐标表示 已知条件 坐标运算 a = (x1 ,y1 ),b = (x2 ,y2 ) a ± b = (x1 ± x2 ,y1 ± y2 ) a = (x,y) λa = (λx,λy) A(x1 ,y1 ),B(x2 ,y2 ) AB→ = (x2 - x1 ,y2 - y1 ) 4. 平面向量共线的坐标表示 设a = (x1,y1),b = (x2,y2)(b≠0),则向量a, b(b ≠ 0) 共线的充要条件是 x1y2 - x2y1 = 0. 5. 线段的中点坐标公式 若点 P1,P2 的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2), 线 段 P1P2 的 中 点 P 的 坐 标 为 (x,y), 则 x = x1 + x2 2 , y = y1 + y2 2 . ì î í ï ï ï ï ïï 此公式为线段 P1P2 的中点坐标 公式. 若 P1P → = 1 2 PP2 →, 则 点 P 的 坐 标 是 2x1 + x2 3 , 2y1 + y2 3( ) ;若P1P → = 2PP2 →,则 P 的坐标 是 x1 + 2x2 3 , y1 + 2y2 3( ) . 6. 平面向量数量积的坐标表示 已知两个非零向量 a = (x1,y1),b = (x2, y2),θ 为 a,b 的夹角. 数量积 a·b = x1x2 + y1y2 模 | a | = x21 + y21 夹角 cos θ = x1x2 + y1y2 x21 + y21 x22 + y22 　 　 若 a,b为非零向量,则 a ⊥ b⇔a·b = 0⇔x1x2 + y1y2 = 0. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　平面向量基本定理的应用 例 1 (2023 届浙江阶段练) 在正方形 ABCD 中,E,F 分别为 BC,CD 的中点,则下列式子不正 确的是 (　 　 ) A. AC→ =AF→ + 1 2 AB→ B. AC→ =AE→ + 1 2 AD→ C. AC→ = 1 3 AE→ + 2 3 AF→ D. AC→ =AB→ +AD→ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 87　　　直击双 1流　高考数学 由题意可得AC→=AF→+FC→=AF→+ 1 2 DC→= AF→ + 1 2 AB→,故 A 不符合题意; AC→ =AE→ +EC→ =AE→ + 1 2 BC→ =AE→ + 1 2 AD→,故 B 不符合题意; 由AE→ =AB→ +BE→=AB→ + 1 2 BC→=AB→ + 1 2 AD→,AF→= AD→ +DF→ =AD→ + 1 2 DC→ =AD→ + 1 2 AB→,得AB→ +AD→ = 2 3 (AE→ +AF→),故AC→ =AB→ +AD→ = 2 3 AE→ + 2 3 AF→,故 C 符合题意,D 不符合题意. C 题型二　平面向量线性运算的坐标表示 例 2 (2022 届合肥期末) 已知向量 a = (2, - 1),b =( - 3,2),c = (1,1),则向量 c可用向量 a,b 表示为 (　 　 ) A. 2a + 3b B. 5a + 3b C. 4a - 2b D. a - 5b 设 c = ma + nb(m,n ∈ R), 则(1,1) = m(2, - 1) + n( - 3,2) = (2m - 3n,- m + 2n), 所以 2m - 3n