6. 1 平面向量的概念及运算-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

第六章 　 平面向量及其应用、复数 6. 1　 平面向量的概念及运算 考点一　平面向量的基本概念 1. 向量的有关概念 向量 既有大小又有方向的量 几何表示 用有向线段表示,有向线段的长度表示向量 的大小,有向线段的方向表示向量的方向 用黑体单个小写字母表示,例如:a,b 长度(模) 向量AB→ 的大小即向量AB→ 的长度 (模), 记 作| AB→ | 2. 几种特殊的向量 特殊向量 定义 零向量 长度为 0 的向量,记作 0 单位向量 长度等于 1 个单位长度的向量 平行向量 方向相同或相反的非零向量,又叫共线向量. 规定:零向量与任意向量平行 相等向量 长度相等且方向相同的向量 相反向量 长度相等且方向相反的向量,特别地,0 的相 反向量仍为 0 考点二　平面向量的线性运算 1. 向量的加法、减法及其运算法则 向量运算 定义 法则 运算律 加法 求两个向量 和的运算 三角形法则 平行四边形法则 (1) 交换律: a + b = b + a; (2) 结合律: ( a + b) + c = a + (b + c) 续表 向量运算 定义 法则 运算律 减法 求 a 与 b 的 相 反 向 量 - b 的 和 的 运算 三角形法则 a - b = a + ( - b) 　 　 1. a + 0 = 0 + a = a; 　 2. | | a | -| b | | ≤| a ± b | ≤| a | +| b | ; 3. | a + b | 2 +| a - b | 2 = 2(a2 + b2) . 2. 向量的数乘运算及其几何意义 定义 实数 λ 与向量 a 的积是一个向量,这种运算叫向 量的数乘,记作 λa 长度(模) | λa | = | λ | | a | 方向 λ > 0 时,λa 的方向与 a 的方向相同;λ < 0 时, λa 的方向与 a 的方向相反;λ = 0 时,λa = 0 运算律 设 λ,μ 为 实 数, 那 么 (1)λ(μa) = (λμ)a; (2)(λ + μ)a = λa + μa;(3)λ(a + b) = λa + λb 3. 线性运算 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性 运算,向量的线性运算的结果仍是向量. 对于任意向量 a,b,以及任意实数 λ,μ1,μ2, 恒有 λ(μ1a ± μ2b) = λμ1a ± λμ2b. 4. 共线向量定理 向量 a(a ≠ 0) 与 b共线的充要条件是:存在 唯一一个实数 λ,使得 b = λa. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 　 　 1. A,B,C 三点共线 ⇔AB→,AC→ 共线. 2. 当 B与 C不重合时,OA→,OB→,OC→的终点 A,B,C共线 ⇔ 存 在实数 λ,使得OA→ = λOB→ + (1 - λ)OC→. 考点三　平面向量的数量积 1. 两个向量的夹角 定义 已知两个非零向量 a,b,O是平面上的任意一点, 作OA→ = a,OB→ = b,则∠AOB = θ(0 ≤ θ ≤ π) 叫 做向量 a 与 b 的夹角 图示 特例 当 θ = 0时,a与 b同向;当 θ = π 时,a与 b反向; 当 θ = π 2 时,a 与 b 垂直,记作 a ⊥ b 2. 向量数量积的定义、性质及运算律 定义 已知两个非零向量 a 与 b,它们的夹角为 θ,把数 量 | a | | b | cos θ 叫做 a与 b的数量积(或内积),记 作 a·b,即 a·b = | a | | b | cos θ 续表 投影 过AB→的起点 A 和终点 B 分别作CD→ 所在直线的垂 线,垂足分别为 A1 ,B1 ,得到A1B1 →,我们称上述变换 为AB→向CD→投影,A1B1→叫做AB→在CD→上的投影向量 规定 0·a = 0 性质 设 e是单位向量,且 a与 e的夹角为 θ,则a·e = e· a = | a | cos θ a·a = | a | 2 或 | a | = a·a | a·b | ≤| a | | b | a ⊥ b⇔a·b = 0 当 a 与 b 同向时,a·b = | a | | b | ; 当 a 与 b 反向时,a·b = -| a | | b | 运算律 (1)a·b = b·a; (2)(a + b)·c = a·c + b·c; (3)λ