5. 5 函数 y=Asin(ωx+φ) 、三角函数的应用-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

5. 5　 函数 y = Asin(ωx + φ) 、三角函数的应用 　 　 1 . 函数 y = sin x 的图象通过变换得到 y = Asin(ωx + φ)(A > 0,ω > 0) 的图象的步骤 2. 图象的两种变换方法的区别与联系 区别 先平移变换(左右平移) 再周期变换(伸缩变换) 时,平 移的量是 | φ | 个单位长度, 而先周期变换(伸缩变 换) 再平移变换(左右平移) 时,平移的量是| φ | ω 个单 位长度 联系 两种变换方法都是针对 x 而言的,即 x 本身加减多少, 而不是 ωx 加减多少. 平移规律:左加右减,上加下减 　 　 3. 函数 y = Asin(ωx + φ)(A > 0,ω > 0) 的 物理意义 物理 中, 描 述 简 谐 运 动 的 物 理 量 都 与 y = Asin( ωx + φ) ( A > 0,ω > 0,x ≥ 0) 中 的常数有关,A 为振幅,T = 2π ω 为周期, f = 1 T = ω 2π 为频率,ωx + φ 为相位,φ 为初相 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　三角函数的图象及变换 例 1 (2023届江西吉安联考) 函数 f(x) = Asin(ωx + φ) 其中 A > 0,ω > 0, | φ | < π 2( ) 的 部分图象如图所示,为了得到 g(x) = Asin ωx 的 图象,只需将 f(x) 的图象 (　 　 ) A. 向右平移π 6 个单位长度 B. 向右平移π 3 个单位长度 C. 向左平移π 6 个单位长度 D. 向左平移π 3 个单位长度 由函数 f(x) = Asin(ωx + φ)(其中 A > 0,ω > 0, | φ | < π 2 ) 的部分图象可得 A = 1, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 17第五章　基本初等函数Ⅱ(三角函数) 　　　 T 4 = 1 4 ·2π ω = 7π 12 - π 3 , ∴ ω = 2. 由图象及五点作图法可得 2 × π 3 + φ = π, ∴ φ = π 3 ,f(x) = sin(2x + π 3 ) . 故将 f(x) = sin(2x + π 3 ) 的图象向右平移 π 6 个单位长度,可得 y = sin 2(x - π 6 ) + π 3 é ë ê ê ù û ú ú = sin 2x = g(x) 的图象. A 　 　 易知函数 f(x) 的周期为 π,则函数 f(x) 在 y轴左侧的图象 与 x 轴的第一个靠近 y 轴交点的坐标为( - π 6 ,0) . 因为 g(x) 的图象经过点(0,0), 所以函数 f(x) 的图象向左平移 π 6 个单位长度,就可以得 到 g(x) 的图象. 题型二　由图象求三角函数的解析式 例 2 已知 f(x) = Asin(ωx + φ)(A > 0,ω > 0,0 < φ < π 2 ) 的部分图象如图所示,则 f 7π 18( ) = . 由图得 T = 4 3 × (5π 9 - π 18 ) = 2π 3 ,则 ω = 2π T = 3. 令3 × π 18 + φ = π 2 + 2kπ,k∈Z,解得φ = π 3 + 2kπ,k ∈ Z. ∵ 0 < φ < π 2 , ∴ φ = π 3 . ∵ f(0) = Asin π 3 = 3,解得 A = 2 3 , ∴ f(x) = 2 3 sin(3x + π 3 ), ∴ f(7π 18 ) = 2 3 sin(3 × 7π 18 + π 3 ) =- 2 3 . - 2 3 　 　 确定函数 y = Asin(ωx + φ) + b(A > 0,ω > 0) 中参数的 步骤和方法如下: (1) 求 A,b: 确定函数的最大值 M 和最小值 m, 则 A = M - m 2 ,b = M + m 2 . (2) 求 ω:确定函数的最小正周期 T,则 ω = 2π T . (3) 求 φ:① 代入法,把图象上的一个已知点代入(此时 A, ω,b已知) 或代入图象与直线 y = b的交点求解(此时要注意交 点在图象的上升部分还是下降部分) . ② 五点法,确定 φ 值时,往往以寻找“五点法” 中的第一个 点为突破口. 常见的选点方法如下: 选“第一点”(即图象上升部分与 x 轴的交点) 时,令 ωx + φ