5. 4 三角恒等变换-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

5. 4　 三角恒等变换 1. 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 sin(α ± β) = sin αcos β ± cos αsin β; cos(α ± β) = cos αcos β ∓ sin αsin β; tan(α ± β) = tan α ± tan β 1 ∓ tan αtan β (α,β,α ± β ≠ π 2 + kπ,k ∈ Z) . 2. 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1) 二倍角公式 sin 2α = 2sin αcos α; cos 2α = cos2α - sin2α = 2cos2α - 1 = 1 - 2sin2α; tan 2α = 2tan α 1 - tan2α (α ≠ kπ + π 2 且α ≠ kπ 2 + π 4 ,k ∈ Z) . (2) 二倍角公式与两角和的正弦、余弦、正 切公式的联系 在两角和的正弦公式 sin(α + β) = sin α· cos β + cos αsin β 中,令 β = α,可得 sin 2α = sin(α + α) = sin αcos α + cos α sin α = 2sin αcos α. 同理可得二倍角的余弦公式和正切公式. 3. 半角公式 sin α 2 = ± 1 - cos α 2 ; cos α 2 = ± 1 + cos α 2 ; tan α 2 = sin α 1 + cos α = 1 - cos α sin α = ± 1 - cos α 1 + cos α . 4. 辅助角公式 asin α + bcos α = a2 + b2 sin(α + β),其中 a,b 为 非 零 常 数,cos β = a a2 + b2 ,sin β = b a2 + b2 . 5. 公式的常用变式 tan α ± tan β = (1 ∓ tan αtan β)tan(α ±β); tan αtan β = 1 - tan α + tan β tan(α + β) = tan α - tan β tan(α - β) - 1; sin 2α = 2sin αcos α sin2α + cos2α = 2tan α 1 + tan2α ; cos 2α = cos 2α - sin2α cos2α + sin2α = 1 - tan 2α 1 + tan2α ; sin2α = 1 - cos 2α 2 ; cos2α = 1 + cos 2α 2 ; sin αcos α = 1 2 sin 2α; 1 + cos α = 2cos2 α 2 ; 1 - cos α = 2sin2 α 2 ; 1 + sin α = (sin α2 + cos α 2 ) 2 ; 1 - sin α = (sin α2 - cos α 2 ) 2 . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 66　　　直击双 1流　高考数学 题型一　利用三角恒等变换化简 例 1 (2022届济南期中) 下列式子的运算结 果为 3 的是 (　 　 ) A. 2(sin 35°cos 25° - cos 35°sin 25°) B. cos 35°cos 5° + sin 35°sin 5° C. 1 + tan 15° 1 - tan 15° D. tan π 6 1 - tan2 π 6 2(sin 35°cos 25° - cos 35°sin 25°) = 2sin(35° - 25°) = 2sin 10° ≠ 3 ,故选项 A 不合 题意; cos 35°cos 5° + sin 35°sin 5° = cos(35° - 5°) = cos 30° = 3 2 ≠ 3 ,故选项 B 不合题意; 1 + tan 15° 1 - tan 15° = tan 45° + ta