5. 3 三角函数的图象与性质-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

5. 3　 三角函数的图象与性质 考点一　 用“五点法”画正弦函数和余弦 函数的简图 在正弦函数 y = sin x,x ∈ [0,2π] 的图象 上,起关键作用的五个点是(0,0), π 2 ,1( ) , (π, 0), 3π 2 , - 1( ) ,(2π,0) . 在余弦函数 y = cos x,x ∈ [0,2π] 的图象 上, 起关键作用的五个点是 (0,1), π 2 ,0( ) , (π, - 1), 3π 2 ,0( ) ,(2π,1) . 五点法作图有三步:列表、描点、连线(注意 光滑) . 考点二　正弦、余弦、正切函数的图象与性质 函数 y = sin x y = cos x y = tan x 图象 定义域 R R {x | x≠kπ + π 2 , k∈Z} 值域 [ - 1,1] [ - 1,1] R 周期性 周 期 为 2kπ (k ∈ Z 且 k ≠ 0), 最小正周 期为 2π 周 期 为 2kπ (k ∈ Z 且 k ≠ 0), 最小正周 期为 2π 周 期 为 kπ (k ∈ Z 且 k ≠ 0), 最小正周 期为 π 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 续表 函数 y = sin x y = cos x y = tan x 对称性 对称中心: (kπ,0) (k ∈ Z) 对称中心: (kπ + π 2 ,0) (k ∈ Z) 对称中心: kπ 2 ,0( ) (k ∈ Z) 对称轴方程: x = kπ + π 2 (k ∈ Z) 对称轴方程: x = kπ(k ∈ Z) 无对称轴 单调性 递增区间: 2kπ - π 2 ,2kπ +[ π 2 ] (k ∈ Z); 递减区间: 2kπ + π 2 ,2kπ +[ 3π 2 ] (k ∈ Z) 递增区间: [2kπ - π,2kπ] (k ∈ Z); 递减区间: [2kπ,2kπ + π] (k ∈ Z) 递增区间: kπ - π 2 ,kπ +( π 2 ) (k ∈ Z) 　 　 1. 正切函数的图象是由直线 x = kπ + π 2 (k ∈ Z) 隔开的 无穷多支曲线组成的,其单调递增区间是(kπ - π 2 ,kπ + π 2 ), k ∈ Z,但不能说它在整个定义域内是增函数,如 π 4 < 3π 4 ,但 tan π 4 > tan 3π 4 . 2. 三角函数存在多个单调区间时,易错用“∪” 进行联结. 3. 研究三角函数的单调性、奇偶性、对称中心及对称轴时, 易忽视“k ∈ Z” 这一条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 26　　　直击双 1流　高考数学 题型一　求三角函数的定义域和值域 例 1 (2023 届江苏课时练) 已知函数 f(x) = 2sin 2x + cos 4x - 1 2sin 2x . (1) 求函数 f(x) 的定义域; (2) 化简函数式,并求出函数 f(x) 的值域. (1) 要使 f(x) = 2sin 2x + cos 4x - 1 2sin 2x 有意义,须 sin 2x ≠ 0,得 x ≠ kπ 2 ,k ∈ Z, 故 函 数 f(x) 的 定 义 域 为 x x ≠ kπ 2 ,k ∈ Z{ } . (2) f(x) = 2sin 2x + cos 4x - 1 2sin 2x = 1 + 1 - 2sin22x - 1 2sin 2x =1 - sin 2x(x ≠ kπ 2 ,k ∈ Z) . 由 - 1 ≤ sin 2x≤ 1,且 sin 2x≠ 0,得0 ≤ 1 - sin 2x ≤ 2,且 1 - sin 2x ≠ 1. 故函数 f(x) 的值域为[0,1) ∪ (1,2] . 题型二　三角函数单调性的应用 例 2 (2023 届河南专题练) 已知 ω > 0,函 数 f(x) = sin(ωx + π 4 ) 在区间[ π 2 ,π] 上单调递 减,则实数 ω 的取值范围是 (　 　 ) A. [ 1 2 , 5 4 ] B. [ 1 2 , 3 4 ] C. (0, 1 2 ] D. (0,2] 由题意得 ωx + π 4 ∈ [ π