5. 1 任意角和弧度制、三角函数的概念-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

第五章 　 基本初等函数 Ⅱ(三角函数) 5. 1　 任意角和弧度制、三角函数的概念 考点一　任意角和弧度制 1. 任意角 (1) 角 的 分 类 按旋转方向 不同分类 正角:按逆时针方向旋转 形成的角 负角:按顺时针方向旋转 形成的角 零角:射线没有旋转 ì î í ï ï ï ï ï ï ïï 按终边位置 不同分类 象限角:角的终边在第几 象限,这个角就是第几象 限角 轴线角:角的终边落在坐 标轴上 ì î í ï ï ï ï ï ï ïï ì î í ï ï ï ï ï ï ï ï (2) 终边相同的角:所有与角 α 终边相同的 角,连同角 α 在内,可构成一个集合 S = {β | β = α + 2kπ,k ∈ Z} . (3) 象限角:在直角坐标系中,使角的顶点 与原点重合,角的始边与 x 轴的非负半轴重合, 那么,角的终边在第几象限,这个角就是第几象 限角. 如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角 不属于任何一个象限. 第一象限角的集合 α | 2kπ < α < 2kπ + π 2 ,k ∈ Z{ } 第二象限角的集合 α | 2kπ + π 2 < α < 2kπ + π,k ∈ Z{ } 第三象限角的集合 α | 2kπ + π < α < 2kπ + 3 2 π,k ∈ Z{ } 第四象限角的集合 α | 2kπ + 3 2 π < α < 2kπ + 2π,k ∈ Z{ } 2. 弧度制 定义 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做 1 弧度的角,弧度单位用符号 rad 表示 角 α 的弧度数公式 | α | = l r ( l 是弧长,r 是半径) 角度与弧度的换算 ①1° = π 180 rad;②1 rad = 180 π( ) ° ≈ 57. 3° 弧长公式 弧长 l = | α | r 扇形面积公式 S = 1 2 l·r = 1 2 | α |·r2 考点二　三角函数的概念 1. 三角函数的概念 (1) 设 α 是一个任意角,它的终边与单位圆 交于点 P(x,y),那么 y 叫做 α 的正弦函数,记作 sin α,即 y = sin α;x 叫做 α 的余弦函数,记作 cos α,即 x = cos α; y x 叫做 α 的正切函数,记作 tan α,即 y x = tan α(x≠ 0) . 正弦函数、余弦函数、 正切函数统称为三角函数. (2) 设角 α 的终边与单位圆交于 P 点,与过 点 A(1,0) 的单位圆切线交于 T 点(当终边与切 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 线不相交时,取终边反向延长线与切线的交点为 T),过 P 作 x 轴的垂线,垂足为 M,则有向线段 MP,OM,AT 分别叫做角 α 的正弦线、余弦线、正 切线,统称为三角函数线. (3) 三角函数值在各象限内的符号 口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 　 　 任意角的三角函数的定义(推广):一般地,设角 α 终边上 任意一点(异于原点) 的坐标为(x,y),它与原点的距离为 r,则 sin α = y r ,cos α = x r ,tan α = y x (x ≠ 0) . 2. 同角三角函数的基本关系 (1) 平方关系:sin2α + cos2α = 1. (2) 商数关系:tan α = sin α cos α ,α ≠ π 2 + kπ, k ∈ Z. (3) 同角三角函数关系式的常见变形: ①sin2α = 1 - cos2α; ②cos2α = 1 - sin2α; ③sin α = ± 1 - cos2α ; ④cos α = ± 1 - sin2α ; ⑤sin α = cos αtan α; ⑥cos α = sin α tan α ; ⑦sin2α = sin 2α sin2α + cos2α = tan 2α tan2α + 1 ; ⑧(sin α ± cos α) 2 = 1 ± 2sin αcos α. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋