4.2.3 导数的综合应用-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

第 3 课时 　 导数的综合应用 1. 导数与方程、不等式的综合 导数与方程的综合主要涉及研究方程的根 (或函数的零点) 的情况,导数与不等式的综合 主要涉及不等式证明及恒成立(或能成立) 问 题. 利用导数研究方程和不等式问题的基本思路 是构造函数,求导之后结合函数性质求解. 2. 生活中的优化问题 (1) 生活中经常遇到求利润最大、 用料最 省、效率最高等问题,这些问题称为优化问题. (2) 用导数解决优化问题的基本思路: 上述解决优化问题的过程是一个典型的数 学建模过程. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 方法一　利用导数研究函数零点问题 1. 函数零点个数的判断、证明 例 1 函数 f(x) = 2x + x3 - 2 在区间(0,1) 内 的零点个数是 (　 　 ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 由 f(x)= 2x + x3 - 2得 f′(x)=2x ln 2 + 3x2, 所以当 x ∈ (0,1) 时,f′(x) > 0 恒成立, 所以 f(x) 在(0,1) 上单调递增. 又因为 f(0) =- 1 < 0,f(1) = 1 > 0, 所以函数 f(x) 在区间(0,1) 内的零点个数 为 1. B 例 2 (2022 届贵阳阶段练) 已知函数 f(x) = x3 - 3ax2 + a,a > 0. (1) 证明:曲线 y = f(x) 在(1,f(1)) 处和 ( - 1,f( - 1)) 处的切线不平行. (2) 讨论 f(x) 的零点个数. (1) 由 f(x)= x3 - 3ax2 + a得 f′(x)= 3x2 - 6ax = 3x(x - 2a) . 若曲线 y = f(x) 在 (1,f(1)) 处和 ( - 1, f( - 1)) 处的切线平行,则 f′(1) = f′( - 1),即 3 - 6a = 3 + 6a,解得 a = 0,与 a > 0 矛盾, 所以曲线 y = f(x) 在(1,f(1)) 处和( - 1, f( - 1)) 处的切线不平行. (2) f′(x) = 3x2 - 6ax = 3x(x - 2a) . 由 f′(x) > 0 得 x < 0 或 x > 2a,由 f′(x) < 0 得 0 < x < 2a, 所以 f(x) 在( - ∞ ,0) 和(2a, + ∞ ) 上单调 递增,在(0,2a) 上单调递减, 所以 f(x) 的极大值为 f(0) = a > 0. 因为 f( - 1) =- 1 - 3a + a =- 1 - 2a < 0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 15第四章　一元函数的导数及其应用 　　　 f( - 1) ·f(0) < 0, 且 f(x) 在 ( - ∞ ,0) 上单 调递增, 所以 f(x) 在区间( - 1,0) 上存在一个零 点 x0 . 易知 f(x) 的极小值为 f(2a) =- 4a3 + a = a(1 - 4a2) . ① 当1 - 4a2 > 0即0 < a < 1 2 时,f(2a) > 0, 则 f(x) 在(0,2a) 和(2a, + ∞ ) 上没有零 点,此时 f(x) 有且只有 1 个零点 x0 . ② 当 1 - 4a2 = 0 即 a = 1 2 时,f(2a) = 0,由 函数 f(x) 的单调性可知,f(x) 有且仅有 2 个零 点,分别为 x0,1. ③ 当 1 - 4a2 < 0 即 a > 1 2 时,f(2a) < 0, f(0) = a > 0,f(3a) = a > 0, 所以存在 x1 ∈ (0,2a),x2 ∈ (2a,3a), 使 f(x1) = 0,f(x2) = 0,此时 f(x) 有且仅有 3 个零 点,分别为 x0,x1,x2 . 综上,当0 < a < 1 2 时,f(x) 有且仅有1 个零 点;当 a = 1 2 时,f(x) 有且仅有 2 个零点;当 a > 1 2 时,f(x) 有且仅有 3 个零点. 　 　 判断函数零点的方法 利用零点存在定理求解函数零点问题的前提条件为函数 图象在区间[a,b] 上是连续不断的曲线,且 f(a)· f(b) < 0. (1) 直接法:判断函数只有一个零点时,若函数为单调函 数,则只需证明 f(a)·f(b) < 0; (2) 分类讨论法:判断函数有几个零点时,需要先结合单 调性,确定分