4.2.2 导数与函数的极值、最值-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

第 2 课时 　 导数与函数的极值、最值 1. 函数的极值与导数 (1) 设函数 y = f(x) 在点 x0 及其附近有定 义, 如 果 对 x0 附 近 的 所 有 点 都 有 f(x) < f(x0)( f(x) > f(x0)),则称 x0 是函数 y = f(x) 的 极大值点(极小值点),f(x0) 是函数 y = f(x) 的 极大值(极小值) . 极大值点、极小值点统称为极 值点,极大值和极小值统称为极值. (2) 判别 f(x0) 是否为极值的方法如下: 解方程 f′( x) = 0,当 f′( x0 ) = 0 时,① 如 果在 x0 附近的左侧 f′( x) > 0,右侧 f′( x) < 0,那么 f(x0) 是极大值;② 如果在 x0 附近的左侧 f′(x) < 0,右侧 f′(x) > 0,那么 f(x0) 是极小值. 　 　 1. 导数值为0的点不一定是函数的极值点. 例如,对于函数 f(x) = x3,f′(x) = 3x2,虽然 f′(0) = 0,但 x = 0 不是极值点. 一般地,若函数 y = f(x) 在定义域内可导,则函数 y = f(x) 在 一点的导数值为 0 是函数 y = f(x) 在这点取极值的必要条件, 而非充分条件. 　 　 2. 极值点不是点,而是函数图象的某段上取得极值处点的 横坐标. 3. 极大值与极小值之间无确定的大小关系. 2. 函数的最值与导数 (1) 一般地,如果在区间[a,b] 上函数 y = f(x) 的图象是一条连续的曲线,那么它必有最大 值与最小值. (2) 判别连续函数在闭区间上的最值,需将函 数在该区间上的极值和区间端点处的函数值进行 比较,其中最大的为最大值,最小的为最小值. 3. 极值与最值的联系与区别 联系:极值可能是最值,最值也可能是极值, 不在区间端点处取到的最值一定是极值. 有极值 未必有最值,有最值也未必有极值. 区别:在指定区间上极值可能不止一个,也 可能一个都没有,而最大值和最小值都最多只能 有一个. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　利用导数研究函数的极值、最值 1. 由函数图象判断函数的极值、最值 例 1 (2022 届 天 津 单 元 测 ) 已 知 函 数 f(x)(x ∈ R) 的图象是一条连续不断的曲线,设 其导函数为 f′(x),函数 g(x) = (x2 - x) f′(x) 在 区间[ - a,a] 上的图象如下, 则 f(x) 在区间 ( - a,a) 上 (　 　 ) A. 有极大值和极小值 B. 有极大值,没有极小值 C. 有极小值,没有极大值 D. 没有极值 由图象知 a > 1. 当 - a < x < - 1 时,g(x) > 0. 又当 - a < x < - 1 时,x2 - x > 0, ∴ f′(x) > 0. 同理当 - 1 < x < 0 时, f′( x) < 0, 当 0 < x < 1 时, f′( x) < 0,当 1 < x < a 时, f′( x) < 0, ∴ 函数 f(x) 在区间( - a,a) 上有极大值,没 有极小值. B 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 64　　　直击双 1流　高考数学 例 2 (2023届北京三模) 已知定义在R上的 函数 f(x),其导函数 f′(x) 的大致图象如图所示, 则下列叙述正确的是 (　 　 ) A. f(b) > f(a) > f(c) B. 函数 f(x) 在 x = c 处取得最大值,在 x = e 处取得最小值 C. 函数 f(x) 在 x = c 处取得极大值,在 x = e 处取得极小值 D. 函数 f(x) 的最小值为 f(d) 由题图可知,当 x ≤ c 时,f′(x) ≥ 0, 所以函数 f(x) 在( - ∞ ,c] 上单调递增, 又 a < b < c, 所以 f(a) < f(b) < f(c),故 A 错误. 因为 f′(c) = 0,f′(e) = 0, 且当 x < c 时, f′(x) > 0,当 c < x < e时,f′(x) < 0,当 x > e时, f′(x) > 0, 所以函数 f(x) 在 x = c 处取得极大值,但不 一定取得最大值,在 x = e 处取得极小值,但不一 定取得最小值,故 B 错误,C 正确.