4.2.1 导数与函数的单调性-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

4. 2　 导数在研究函数中的应用 第 1 课时 　 导数与函数的单调性 1. 函数的单调性与导数的关系 已知函数 f(x) 在区间(a,b) 内可导,f′(x) 是 f(x) 的导数,则: (1) 若 f′(x) > 0,则 f(x) 在区间(a,b) 内是 单调递增函数; (2) 若 f′(x) < 0,则 f(x) 在区间(a,b) 内是 单调递减函数; (3) 若恒有 f′(x) = 0, 则 f(x) 在区间(a, b) 内是常数函数. 2. 用充要条件诠释导数与函数单调性的关系 (1) f′(x) > 0( < 0) 是 f(x) 在区间 (a, b) 内单调递增(减) 的充分不必要条件. (2) f′(x) ≥0(≤0) 是 f(x) 在区间(a,b) 内 单调递增(减) 的必要不充分条件. (3) 若 f′(x) 在区间(a,b) 的任意子区间内 都不恒等于零,则 f′(x) ≥ 0(≤ 0) 是 f(x) 在区 间(a,b) 内单调递增(减) 的充要条件. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　 利用导数确定函数的单调性(单调 区间) 1. 求已知解析式的函数的单调性(单调区间) 例 1 函数 f(x)= cos x - x在(0,π) 上(　 　 ) A. 先增后减 B. 先减后增 C. 单调递增 D. 单调递减 由f(x) = cos x -x,得f′(x) = - sin x - 1. 当 x∈ (0,π) 时, - sin x - 1 ∈ [ - 2, - 1), 即 f′(x) < 0, 所以函数 f(x) 在(0,π) 上单调递减. D 　 　 确定函数 f(x) 单调性的一般步骤 (1) 求函数 f(x) 的定义域; (2) 求 f′(x),并求方程 f′(x) = 0 的根; (3) 根据 f′(x) = 0 的根将函数 f(x) 的定义域分成若干个 子区间,确定 f′(x) 在各个子区间内的符号; (4) 由 f′(x) 的正负确定 f(x) 在各个子区间上的单调性. 2.求解析式中含参数的函数的单调性(单调 区间) 例 2 (2023届黄冈单元检测)已知函数 f(x)= 1 2 x2 - 2x +aln(x + 2)(a ∈ R),求函数 f(x) 的单 调区间. ∵ f(x) = 1 2 x2 - 2x + aln(x + 2), ∴ f(x) 的定义域为( - 2, + ∞ ),f′(x) = x - 2 + a x + 2 = x 2 - 4 + a x + 2 . 当 a ≥ 4 时,f′(x) ≥ 0. 当 0 < a < 4 时,令 f′(x) > 0,得 - 2 < x < - 4 - a 或 x > 4 - a ; 令 f′(x) < 0, 得 - 4 - a < x < 4 - a . 当 a ≤ 0 时,令 f′(x) > 0,得 x > 4 - a ;令 f′(x) < 0,得 - 2 < x < 4 - a . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 24　　　直击双 1流　高考数学 综上,当 a ≥ 4 时,f(x) 的单调递增区间为 ( - 2, + ∞ ),无单调递减区间; 当 0 < a < 4 时,f(x) 的单调递增区间为 ( - 2,- 4 - a ),( 4 - a , + ∞ ),单调递减区 间为( - 4 - a , 4 - a ); 当 a ≤ 0 时,f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ( 4 - a, + ∞ ),单调递减区间为( - 2, 4 - a). 例 3 (2022 届 湖 南 一 模 ) 已 知 函 数 f(x) =| x - a | - ln x. (1) 若 a = 1,求 f(x) 的单调区间; (2) 若 a > 0,求 f(x) 的单调区间. 由已知得函数 f(x) 的定义域为 (0,+ ∞ ) . (1) 若 a = 1,则 f(x) =| x - 1 | - ln x. 当 x ≥ 1 时,f(x) = x - 1 - ln x,f′(x) = 1 - 1 x ≥ 0, 所以 f(x) 在区间[1, + ∞ ) 上单调递增; 当 0 < x < 1 时,f(x) = 1 - x - ln x,f′(x) = - 1 - 1 x < 0, 所以 f(x) 在区间(0,1) 上单