4. 1 导数的概念及其意义、导数的运算、定积分-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

第四章 　 一元函数的导数及其应用 4. 1　 导数的概念及其意义、导数的运算、定积分 考点一　导数的概念及其意义 1. 导数的概念 一般地,函数 y = f(x) 在 x = x0 处的瞬时变化 率是 lim Δx→0 Δy Δx = lim Δx→0 f(x0 + Δx) - f(x0) Δx , 我们称它为函数 y = f(x) 在 x = x0 处的导数, 记作 f′(x0) 或 y′ x = x0 , 即 f′(x0) = limΔx→0 Δy Δx = lim Δx→0 f(x0 + Δx) - f(x0) Δx . 当 x 变化时,f′(x) 是 x 的一个函数,我们称 它为 f(x) 的导函数 ( 简称导数), 即 f′(x) = lim Δx→0 f(x + Δx) - f(x) Δx . 2. 导数的几何意义 函数 f(x) 在 x = x0 处的导数 f′(x0) 表示曲线 y = f(x) 在点P(x0,f(x0)) 处的切线的斜率. 相应 地,切线方程为 y - f(x0) = f′(x0)(x - x0) . 　 　 1. 求曲线的切线方程时,要注意“在点 P 处的切线” 与“过 点 P的切线” 的区别,前者点 P必为切点,而后者点 P不一定是 切点,也不一定在已知曲线上. 2. 曲线在某点处的切线若有则只有一条,曲线过某点的切 线可能不止一条. 3. 曲线的切线与曲线的交点不一定只有一个. 考点二　导数的运算 1. 基本初等函数的导数公式 基本初等函数 导函数 f(x) = C(C 为常数) f′(x) = 0 f(x) = xn(n ∈ Q,且 n ≠ 0) f′(x) = nxn-1 f(x) = sin x f′(x) = cos x f(x) = cos x f′(x) = - sin x f(x) = ax(a > 0,且 a ≠ 1) f′(x) = ax ln a f(x) = ex f′(x) = ex f(x) = logax(a > 0,且 a ≠ 1) f′(x) = 1 xln a f(x) = ln x f′(x) = 1 x 2. 导数运算法则 (1)[ f(x) ± g(x)] ′ = f′(x) ± g′(x) . (2)[ f(x) · g(x)] ′ = f′(x)g(x) + f(x)g′(x) . (3) f(x) g(x) é ë ê ê ù û ú ú ′ = f′(x)g(x) - f(x)g′(x) [g(x)] 2 (g(x) ≠ 0) . 3. 复合函数的求导法则 复合函数 y = f(g(x)) 的导数和函数 y = f(u),u = g(x) 的导数间的关系为 y′x = y′u·u′x,即 y 对 x的导数等于 y对 u的导数与 u对 x的导数的 乘积. 考点三　定积分 1. 定积分的概念 如果函数 f(x) 在区间[a,b] 上连续,用分点 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 a = x0 <x1 < … < xi -1 < xi < … < xn = b将区 间[a,b] 等分成 n 个小区间,在每个小区间[xi -1, xi] 上任取一点 ξ i(i = 1,2,3,…,n), 作和式 ∑ n i = 1 f(ξ i)Δx = ∑ n i = 1 b - a n f(ξ i),当 n → ∞ 时,上述 和式无限接近某个常数, 这个常数叫做函数 f(x) 在区间[a,b] 上的定积分,记作∫baf(x)dx,即 ∫baf(x)dx = limn→∞∑ n i = 1 b - a n f(ξ i) .在∫baf(x)dx 中,a,b 分别叫做积分下限、积分上限,区间[a,b] 叫做积 分区间,函数 f(x) 叫做被积函数,x 叫做积分变 量,f(x)dx 叫做被积式. 2. 定积分的几何意义 (1) 若 f(x) ≥ 0,x ∈ [a,b],则∫ba f(x)dx 表 示曲线y = f(x) 和直线 x = a,x = b,y = 0围成的曲 边梯形的面积. (2) 若 f(x) ≤ 0,x ∈ [a,b],则∫ba f(x)dx 表 示曲线y = f(x) 和直线 x = a,x = b,y = 0围成的曲 边梯形的面积的相反数. (3) 若 f(x) 在区间[