3. 8 函数的应用-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

3. 8　 函数的应用 1. 常见的几种函数模型 (1) 一次函数模型:y = kx + b(k,b 为常数, k ≠ 0) . (2) 对勾函数模型:y = ax + b x (a,b为常数, a > 0,b > 0) . (3) 二次函数模型:y = ax2 + bx + c(a,b,c为 常数,a ≠ 0) . (4) 指数函数模型:y = abx + c(a,b,c 为常 数,a ≠ 0,b > 0,b ≠ 1) . (5) 对数函数模型:y = mlogax + n(m,n,a为 常数,a > 0,a ≠ 1,m ≠ 0) . (6) 幂函数模型:y = axn + b(a,b,n 为常数, a ≠ 0,n ≠ ± 1,2). 2. 指数函数、对数函数、一次函数模型的比较 函数模型 y = ax (a > 1) y = logax (a > 1) y = kx (k > 0) 在(0, + ∞ ) 上的单调性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 保持固定 图象的变化 随 x 的增大 逐渐表现为 与 y 轴平行 随 x 的增大 逐渐表现为 与 x 轴平行 图象为一条 直线 值的比较 存在一个 x0,当 x > x0 时,有 logax < kx < ax 3. 建立函数模型解应用题的步骤 (1) 审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺 数量关系,初步选择数学模型; (2) 建模:将文字语言转化为数学语言,利 用数学知识建立相应的数学模型; (3) 求解:求解数学模型,得出数学结论; (4) 还原:将用数学方法得到的结论还原到 实际问题中. 以上过程用图形表示如下: 　 　 形如 y = ax + b x (a > 0,b > 0) 的函数称为“对勾”函数. 1. 函数 y = ax + b x (a > 0,b > 0) 在( - ∞ , - b a ) 和 ( b a , + ∞ ) 上单调递增,在( - b a ,0) 和(0, b a ) 上单 调递减; 2. 当 x < 0 时,函数 y = ax + b x (a > 0,b > 0) 在 x = - b a 处取得最大值 - 2 ab ,当 x > 0 时,函数 y = ax + b x (a > 0,b > 0) 在 x = b a 处取得最小值 2 ab . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　一次函数模型的应用 例 1 (2023届嘉兴期中) 某市对居民生活用 水收费如下:第一档,每户每月用水不超过 20 立 方米,则水价为每立方米 3 元;第二档,若每户每 月用水超过 20 立方米,但不超过 30 立方米,则超 过部分水价为每立方米 4 元;第三档,若每户每 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 33第三章　函数的概念与性质、基本初等函数Ⅰ　　　 月用水超过 30 立方米,则超过部分水价为每立 方米 7 元,同时征收其全月水费 20% 的用水调节 税. 设某户某月用水 x 立方米,水费为 y 元. (1) 试求 y 关于 x 的函数解析式; (2) 若该用户当月水费为 80 元,试求该用户 当月的用水量. (1) 由题意得当 0 < x ≤ 20 时, y = 3x; 当 20 < x ≤ 30 时,y = 20 × 3 + 4(x - 20) = 4x - 20; 当 x > 30 时,y = [20 × 3 + 4 × (30 - 20) + 7(x - 30)] × 1. 2 = 8. 4x - 132. 所以 y = 3x,0 < x ≤ 20, 4x - 20,20 < x ≤ 30, 8. 4x - 132,x > 30. ì î í ï ï ï ï (2) 易得当该用户水费为 80 元时,用水处于 第二档, 所以 4x - 20 = 80, 解得 x = 25, 所以该用户当月的用水量为 25 立方米. 题型二　对勾函数模型的应用 例 2 (2023届浙江期中) 某校决定在学校门 口建造一间墙高为 4 米,底面面积为 24 平方米, 且背面靠墙的长方体形状的应急室. 已知公司甲 给出的应急室正面的报价为每平方米 400 元,左 右两侧的报价为每平方米 300 元,屋顶和地面的 报价共计为 9 600 元. 设应急室地面的左右两侧 的长度为 x米(1 ≤ x ≤ 5),公