3. 7 函数与方程-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

3. 7　 函数与方程 1. 函数的零点 (1) 函数零点的定义 对于函数 y = f(x),我们把使 f(x) = 0 的实数 x 叫做函数 y = f(x) 的零点. (2) 等价关系 方程 f(x) = 0 有实数解 ⇔ 函数 y = f(x) 有零 点 ⇔ 函数 y = f(x) 的图象与 x 轴有公共点. (3) 函数零点存在定理 如果函数 y = f(x) 在区间[a,b] 上的图象是 一条连续不断的曲线,且有 f(a) f(b) < 0,那么 函数 y = f(x) 在区间(a,b) 内至少有一个零点, 即存在 c ∈ (a,b),使得 f(c) = 0,c 也就是方程 f(x) = 0 的解. (4) 二次函数的图象与其零点的关系 Δ = b2 - 4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 二次函数 y = ax2 + bx + c(a > 0) 的图象 续表 Δ = b2 - 4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 与 x 轴的交点 (x1 ,0),(x2 ,0) (x1 ,0) 无 零点个数 2 1 0 2. 二分法 对于 在 区 间 [a,b] 上 图 象 连 续 不 断 且 f(a) f(b) < 0 的函数 y = f(x),通过不断地把它 的零点所在区间一分为二,使所得区间的两个端 点逐步逼近零点,进而得到零点近似值的方法叫 做二分法. 由函数零点与相应方程解的关系,可用二分 法求方程的近似解. 　 　 1. 函数 f(x) 的零点是一个实数,是方程 f(x) = 0 的根,也 是函数 y = f(x) 的图象与 x 轴交点的横坐标. 2. 函数零点存在定理只能判断出函数零点是否存在,若需 确定零点个数还要结合函数的性质(单调性、 奇偶性、 周期 性等) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　确定函数零点所在的区间 例 1 (2021 届延边月考) 函数 f(x) = x3 + lg x - 18 的零点所在的区间为 . 易知 f(x) 在(0, + ∞ ) 上单调递增, f(2) = 23 +lg 2 - 18 = lg 2 - 10 < 0,f(3) = 33 + lg 3 - 18= 9 +lg 3 > 0, 所以 f(2) f(3) < 0, 所以函数 f(x) 的零点所在的区间为(2,3) . (2,3) 题型二　判断函数零点的个数 例 2 (2023届武邑月考) 已知定义在R上的 函数 f(x) 对任意 x都满足 f(x + 1) =- f(x),且当 0 ≤ x < 1 时, f(x) = x,则函数 g(x) = f(x) - ln | x | 的零点个数为 (　 　 ) A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 ∵ f(x + 1) = - f(x), ∴ f(x + 2) = - f(x + 1) = f(x), 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 13第三章　函数的概念与性质、基本初等函数Ⅰ　　　 ∴ 函数 f(x) 是周期为 2 的周期函数. 当 - 1 ≤ x < 0 时,0 ≤ x + 1 < 1,则 f(x) = - f(x + 1) = - x - 1. 令 g(x)= f(x) - ln | x | = 0,则 f(x)= ln | x | , ∴ 函数 g(x) = f(x) -ln | x | 的零点个数即 函数 y = f(x) 与 y = ln | x | 图象交点的个数. 在同一坐标系内画出函数 y = f(x) 和函数 y = ln | x | 的图象,如图所示. 结合图象可得函数 y = f(x) 与 y = ln | x | 的 图象有 3 个交点, 故函数 g(x) = f(x) - ln | x | 的零点个数为3. B 题型三　由函数零点情况求参数范围 例 3 已知函数 f(x) 为偶函数,且当 x ≥ 0 时,f(x) = x(3 - x),x ∈ [0,3], 1 - 3 x ,x ∈ (3, + ∞ ), ì î í ï ï ïï 若函数 y = f(x) - m 恰有 4 个不同的零点,则实数 m 的取值 范围为 . 作出函数 f(x) 的图象如图所示. 若函数 y = f(x) - m恰有4个不同的零点,则函 数 y = f(x) 的图象与直线