3. 5 对数与对数函数-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

3. 5　 对数与对数函数 考点一　对数与对数的运算 1. 对数的定义 一般地,如果 ax = N(a > 0,且 a ≠ 1),那么 数 x叫做以 a为底N的对数,记作 x = logaN,其中 a 叫做对数的底数,N 叫做真数. 以 10 为底的对数叫做常用对数,记作 lg N; 以 e 为底的对数叫做自然对数,记作 ln N. 2. 对数的性质 (1)loga1 = 0,logaa = 1. (2)alogaN = N(N > 0),logaaN = N. (3) 负数和零没有对数. 3. 对数的运算 (1) 对数的运算性质 如果 a > 0,且 a ≠ 1,M > 0,N > 0,那么: ①loga(MN) = logaM + logaN. ②loga M N = logaM - logaN. ③logaMn = nlogaM(n ∈ R) . (2) 对数换底公式及常用结论 换底公式: logab = logmb logma (a > 0,且 a≠ 1;b > 0;m > 0, 且 m ≠ 1) . 常用结论:①logab = 1 logba ; ②logamb n = n m logab,logab·logbc·logca = 1,其 中 a > 0 且 a ≠ 1,b > 0 且 b ≠ 1,c > 0 且 c ≠ 1. 考点二　对数函数的图象与性质 1. 对数函数的定义 一般地,函数 y = logax(a > 0,且 a≠ 1) 叫做 对数函数,其中 x是自变量,定义域是(0, + ∞ ) . 2. 对数函数的图象与性质 解析式 y = logax(a > 1) y = logax(0 < a < 1) 图象 定义域 (0, + ∞ ) 值域 R 性质 当 x = 1 时,y = 0,即图象过定点(1,0) 当 0 < x < 1 时,y ∈ ( - ∞ ,0);当 x > 1 时, y ∈ (0, + ∞ ) 当 0 < x < 1 时,y ∈ (0, + ∞ ); 当 x > 1 时, y ∈( - ∞ ,0) 在(0, + ∞ ) 上为增函数 在(0, + ∞ ) 上为减函数 3. 指数函数与对数函数的关系 一般地,指数函数 y = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 与 对数函数 y = logax(a > 0,且 a≠ 1) 互为反函数, 它们的定义域与值域正好互换,它们的图象关于 直线 y = x 对称. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 52第三章　函数的概念与性质、基本初等函数Ⅰ　　　 题型一　对数的运算 例 1 指 数 式 8 - 1 3 = 1 2 化 为 对 数 式 为 . 指 数 式 8 - 1 3 = 1 2 化 为 对 数 式 为 log8 1 2 =- 1 3 . log8 1 2 =- 1 3 例 2 (2023届遵义开学考试) 已知 lg 2 = a, lg 3 = b,则log475 = (　 　 ) A. a - b + 2 2a B. b - a + 2 2a C. b - 2a + 2 2a D. 2a - b + 2 2a log475 = lg 75 lg 4 = lg 3 + 2lg 5 2lg 2 = b + 2(1 - a) 2a = b - 2a + 2 2a . C 题型二　对数函数的图象及其应用 例 3 (2022届全国专题练) 如图是三个对数 函数的图象,则 a,b,c 的大小关系是 (　 　 ) A. a > b > c B. c > b > a C. c > a > b D. a > c > b 由题图知 b < 1,c < 1,a > 1. 令 1 = logbx1 = logcx2,则 x2 > x1,且 x1 = b, x2 = c, 所以 c > b, 所以 a > c > b. D 题型三　对数函数性质的应用 例 4 log3(x + 2) > 1的解集是 . log3(x + 2) > 1,即log3(x + 2) > log33. 又函数 y =log3x 在(0, + ∞ ) 上单调递增, 所以 x + 2 > 3,解得 x > 1, 故不等式的解集为(1,