3. 4 指数与指数函数-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

3. 4　 指数与指数函数 考点一　指数与指数幂的运算 1. n 次方根(n > 1,且 n ∈ N∗) 的性质 (1)( n a ) n = a. (2) 当 n 为奇数时, n an = a; 当 n 为偶数时, n an =| a | = a,a ≥ 0, - a,a < 0.{ (3) 负数没有偶次方根. (4)0 的任何次方根都是 0. 2. 有理数指数幂 (1) 分数指数幂 ① 正分数指数幂:a m n = n am (a > 0,m,n ∈ N∗,且n > 1). ② 负分数指数幂:a- m n = 1 a m n = 1 n am (a > 0,m,n∈ N∗,且n > 1). ③0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数 幂没有意义. (2) 有理数指数幂的运算性质 ①ar·as = ar +s(a > 0,r,s ∈ Q) . ②(ar) s = ars(a > 0,r,s ∈ Q) . ③(ab) r = arbr(a > 0,b > 0,r ∈ Q) . 3. 无理数指数幂和实数指数幂 一般地,无理数指数幂 aα(a > 0,α 是无理 数) 是一个确定的实数, 因此, 指数幂 aα(a > 0) 中指数 α 可取任意实数且有理数指数幂的运 算性质同样适用于实数指数幂. 考点二　指数函数的图象与性质 1. 指数函数的定义 一般地,函数 y = ax(a > 0,且 a ≠ 1) 叫做指 数函数,其中 x 是自变量,定义域是 R. 2. 指数函数的图象与性质 解析式 y = ax(0 < a < 1) y = ax(a > 1) 图象 定义域 R 值域 (0, + ∞ ) 性质 当 x = 0 时,y = 1,即图象过定点(0,1) 当 x > 0 时,0 < y < 1; 当 x < 0 时,y > 1 当 x > 0 时,y > 1; 当 x < 0 时,0 < y < 1 在 R 上是减函数 在 R 上是增函数 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　指数幂的运算 例 1 (2023 届 沧 州 七 校 联 考 ) 1 4( ) - 12 · ( 4ab -1 ) 3 (0. 1) -1 ·(a3b -3 ) 1 2 = . 原式 = 4 1 2 ·4 3 2 a 3 2 b - 3 2 10a 3 2 b - 3 2 = 4 1 2 + 3 2 10 = 8 5 . 8 5 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 32第三章　函数的概念与性质、基本初等函数Ⅰ　　　 题型二　指数函数的图象及其应用 例 2 (2023 届河南濮阳阶段练) 函数 f(x) = ax-2 - 3(a > 0 且 a ≠ 1) 的 图 象 经 过 定 点 . 易得 f(2) = a0 - 3 =- 2, 故函数 f(x) = ax-2 - 3(a > 0 且 a ≠ 1) 的图 象经过定点(2, - 2) . (2, - 2) 例 3 (2023 届山西阶段练) 已知 f(x) 是定 义在R上的偶函数,当 x≤0时,f(x)=| ex+1 - 1 | , 则不等式 f(x) - 2 e x + 1 > 0 的解集为 (　 　 ) A. (0, 1 2 ) B. ( - ∞ , 1 2 ) C. ( 2 2 , + ∞ ) D. ( - ∞ , 2 2 ) 因为 f(x) 是定义在R上的偶函数,当 x ≤ 0 时,f(x) =| ex+1 - 1 | , 所 以 当 x > 0 时, - x < 0,f(x) = f( - x) =| e -x+1 - 1 | . 令 g(x) = 2 e x - 1. 易知 f(x) - 2 e x + 1 > 0 的解集为 f(x) 图 象在 g(x) 图象上方部分对应 x 的取值范围. 作出函数 f(x) 和 g(x) 的图象如图所示. 由e -x+1 - 1 = 2 e x - 1,得 x = 1 2 , 则 f(x) > 2 e x - 1 的解集为( - ∞ , 1 2 ) . B 题型三　指数函数性质的应用 例 4 (2021 届广东期中) 已知 a = 40. 9,b = 80. 48,c = 1 2( ) -1. 5 ,则 a,b,c 的大小关系是 (　 　 ) A. c > a > b B. b > a > c C. a > b > c D.