3. 3 幂 函 数-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

3. 3　 幂 　 函 　 数 1. 幂函数的定义 一般地,函数y = xα 叫做幂函数,其中x是自变 量,α 是常数. 2. 常见的 5 种幂函数的图象 3. 常见的 5 种幂函数的性质 函数 y = x y = x2 y = x3 y = x 1 2 y = x -1 定义域 R R R [0, + ∞ ) {x | x ≠ 0} 值域 R [0, + ∞) R [0, + ∞) {y | y ≠ 0} 奇偶性 奇 偶 奇 非奇非偶 奇 续表 函数 y = x y = x2 y = x3 y = x 1 2 y = x -1 单调性 增 在(- ∞,0) 上减, 在(0, + ∞) 上增 增 增 在( - ∞ ,0) 和(0, + ∞ ) 上减 过定点 (0,0),(1,1) (1,1) 　 　 1. 幂函数的图象一定会出现在第一象限内,一定不会出现在 第四象限内,至于是否出现在第二、三象限内,要看函数的奇偶性. 2. 若幂函数的图象与坐标轴相交,则交点一定是原点. 3. 对于幂函数 y = xα,当 α < 0 时,在(0,1) 上,α 越大,函 数图象越靠近 y 轴,在(1, + ∞ ) 上,α 越小,函数图象越靠近 x 轴;当 α > 0 时,在(0,1) 上,α 越大,函数图象越靠近 x 轴,在 (1, + ∞ ) 上,α 越小,函数图象越靠近 x 轴. 4. 幂函数的单调性 幂函数 y = xα 在第一象限的单调性和 α 有关系,当 α > 0 时函数单调递增,当α < 0 时函数单调递减,至于其他象限的单 调性,需要结合函数的奇偶性和图象来分析. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　幂函数的图象及其应用 例 1 (2023 届上海期中) 已知幂函数的图象 经过点(4, 1 2 ),则该幂函数的大致图象是 (　 　 ) A. B. C. D. 设幂函数为 y = xα . 因为该幂函数的图象经过点(4, 1 2 ), 所以 4α = 1 2 ,解得 α =- 1 2 , 所以 y = x - 1 2 , 所以该幂函数的定义域为(0, + ∞ ), 所以排除 C,D. 又 α =- 1 2 < 0, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 12第三章　函数的概念与性质、基本初等函数Ⅰ　　　 所以 y = x - 1 2 在(0, + ∞ ) 上单调递减, 所以排除 B,选 A. A 题型二　幂函数的性质及其应用 例 2 (2023 届山东期中) 已知幂函数 f(x) = x ,则下列结论正确的是 (　 　 ) A. f(x) 的定义域为[0, + ∞ ) B. f(x) 的值域为 R C. f(x) 是偶函数 D. f(x) 是减函数 易得函数 f(x) = x 的定义域为 [0,+ ∞ ), 所以 f(x) = x 的值域为 [0, + ∞ ), 且 f(x) 是非奇非偶函数,故 A 正确,B,C 错误. 因为 f(x) = x = x 1 2 , 1 2 > 0, 所以 f(x) 为增函数,故 D 错误. A 　 　 1. 解决与幂函数的定义有关的问题时,要注意幂函数的系 数为 1. 2. 比较幂值大小的问题一般利用幂函数的单调性求解,求 解时注意数形结合思想的应用. 例 3 (2023 届宁波期中) 设 a = ( 2 3 ) 1 3 ,b = ( 1 3 ) 2 3 ,c = ( 1 3 ) 1 3 ,则 a,b,c 的大小关系是 (　 　 ) A. a > c > b B. a > b > c C. c > a > b D. b > c > a 由 f(x)= x 1 3 在(0, + ∞ ) 上单调递增, 得( 2 3 ) 1 3 > ( 1 3 ) 1 3 ,即 a > c. 由 g(x) = ( 1 3 ) x 在(0, + ∞ ) 上单调递减,得 ( 1 3 ) 2 3 < ( 1 3 ) 1 3 ,即 b < c. 综上,a > c > b. A 例 4 (2022 届洛阳一中月考) 已知函数 f(x) = (m2 - m - 1)xm 3-1 是幂函数,且对任意的 x1,x2 ∈ (0, + ∞ ),x1 ≠ x2,满足 f(x1) - f(x2) x1 - x2 > 0,若 a,b ∈ R,a + b < 0,则 f(a) + f(b)