3. 2 函数的基本性质-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

3. 2　 函数的基本性质 考点一　函数的单调性与最值 1. 函数的单调性 (1) 单调区间 单调递增 单调递减 定义 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I,如果对于定义域 I内 某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1 ,x2 当 x1 < x2 时, 都 有 f(x1) < f(x2),那么就 说函数 f(x) 在区间 D 上单调递增 当 x1 < x2 时, 都有 f(x1) > f(x2),那么就说函数 f(x) 在区 间 D上单调递减 图象 描述 自左向右看,图象是上 升的 自左向右看,图象是下降的 　 　 (2) 单调函数 当函数 f(x) 在它的定义域上单调递增时, 我们就称它是增函数;当函数 f(x) 在它的定义 域上单调递减时,我们就称它是减函数. 2. 函数的最值 前提 设函数 y = f(x) 的定义域为 I 条件 存在实数 M 满足: (1) 对于任意的 x ∈ I,都 有 f(x) ≤ M; (2) 存在 x0 ∈ I, 使得 f(x0 ) = M 存在实数 M 满足: (1) 对于任意的 x ∈ I,都 有 f(x) ≥ M; (2) 存 在 x0 ∈ I, 使 得 f(x0 ) = M 结论 M 为函数 y = f(x) 的最 大值 M为函数 y = f(x) 的最小值 　 　 1. “函数 f(x) 的单调区间是 A” 和“函数 f(x) 在区间 B 上 单调” 不同,显然 B ⊆ A. 2. 一个函数有多个递增区间或递减区间时,各个区间不能 用“∪” 联结,而要用“和” 或“,” 联结. 考点二　函数的奇偶性 1. 函数奇偶性的定义及图象特征 定义 图象特征 偶函数 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I, 如果 ∀x ∈ I, 都有 - x ∈ I, 且 f( - x) = f(x),那么函数 f(x) 就叫 做偶函数 关 于 y 轴对称 奇函数 一般地,设函数 f(x) 的定义域为 I, 如果 ∀x ∈ I, 都有 - x ∈ I, 且 f( - x) = - f(x),那么函数 f(x) 就 叫做奇函数 关 于 原 点对称 2. 有关函数奇偶性的重要结论 (1) 如果奇函数 f(x) 在原点处有定义,即 f(0) 有意义,那么一定有 f(0) = 0. (2) 如果函数 f(x) 是偶函数,那么 f(x) = f( | x | ) . (3) 既是奇函数又是偶函数的函数只有一 种类型,即 f(x) = 0,x ∈ D,其中定义域 D是关于 原点对称的非空数集. (4) 奇函数在关于原点对称的区间上具有 相同的单调性,偶函数在关于原点对称的区间上 具有相反的单调性. (5) 奇函数中偶次幂系数为 0;偶函数中奇 次幂系数为 0. 考点三　函数的周期性 1. 周期函数 对于函数 y = f(x),如果存在一个非零常数 T,使得当 x 取定义域内的任何值时,都有 f(x + T) = f(x),那么就称函数 y = f(x) 为周期函数,称 T 为这个函数的周期. 2. 最小正周期 如果在周期函数 f(x) 的所有周期中存在一 个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 71第三章　函数的概念与性质、基本初等函数Ⅰ　　　 3. 重要结论 (1) 若 f(x + a) = f(x + b)(a ≠ b),则函数 f(x) 为周期函数,且它的一个周期为 | a - b | . (2) 若函数 f(x) 在其定义域内满足 f(x + a) =- f(x) 或 f(x + a) = 1 f(x) 或 f(x + a) = - 1 f(x) ,其中 a > 0,则函数 f(x) 为周期函数,且 2a 为它的一个周期. (3) 若函数 f(x) 的图象既关于直线 x = a对 称,又关于直线 x = b对称,则函数 f(x) 必为周期 函数,且 2 | a - b | 是它的一个周期. (4) 若函数 f(x) 的图象既关于点(a,0) 对 称,又关于点(b,0) 对称,则函数 f(x) 必为周期 函数,且 2 | a - b | 是它的一个周期. (5) 若函数 f(x) 的图象既关于点(a,0) 对称,