3. 1 函数的概念及其表示-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

第三章 　 函数的概念与性质、基本初等函数 Ⅰ 3. 1　 函数的概念及其表示 考点一　函数的概念与表示 1. 函数与映射的概念 函数 映射 两个集 合 A,B A,B 是 非 空 的 实 数集 A,B 是非空的集合 对应关系 按照某种确定的对 应关系 f,使对于集 合 A 中的任意一个 数 x,在集合 B 中都 有唯一确定的数 y 和它对应 按某一个确定的对应关系 f,使对于集合 A 中的任意 一个元素 x,在集合 B 中都 有唯一确定的元素 y 与之 对应 名称 称 f:A → B 为从集 合 A 到集合 B 的一 个函数 称 f:A→B为从集合A到集 合 B 的一个映射 记法 y = f(x),x ∈ A f:A → B 2. 函数的构成要素 在函数 y = f(x),x∈A中,x叫做自变量,x的 取值范围 A 叫做函数的定义域,与 x 的值相对应 的 y 的值叫做函数值,函数值的集合{ f(x) | x ∈ A} 叫做函数的值域. 函数的定义域、对应关系与值域是函数的三 个构成要素. 　 　 1. 函数的值域是集合 B 的子集. 2. 若两个函数的定义域和对应关系完全相同,则这两个函 数是相同函数. 3. 函数的三种表示法 (1) 解析法:用数学表达式表示两个变量 之间的对应关系. (2) 图象法:用图象表示两个变量之间的对 应关系. (3) 列表法:列出表格来表示两个变量之间 的对应关系. 考点二　分段函数 在函数的定义域内,对于自变量 x 的不同取 值区间,有着不同的对应关系,这种函数称为分 段函数. 分段函数是一个函数,它的定义域是各 段定义域的并集,值域是各段值域的并集. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　相同函数的判断 例 1 (2023 届全国专题练) 下列函数中,表 示同一个函数的是 (　 　 ) A. y = x2 与 y = ( x ) 4 B. y = x2 与 y = t2 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 C. y = | x | x 与 y = x(x ≠ 0) D. y = x + 1 · x - 1 与 y = x2 - 1 对于 A,y = x2 的定义域为 R,y = ( x ) 4 的定义域为[0, + ∞ ),定义域不同,不是 同一函数; 对于 B,易得 y = x2 与 y = t2 的定义域和对应 关系相同,是同一函数; 对于 C, y = | x | x = 1(x > 0), - 1(x < 0){ 与 y = x(x ≠ 0) 的对应关系不同,不是同一函数; 对于 D,y = x + 1 · x - 1 的定义域为 [1, + ∞ ),y = x2 - 1 的定义域为 ( - ∞ , - 1] ∪ [1, + ∞ ),定义域不同,不是同一函数. B 题型二　求函数的定义域 例 2 (2021届江苏模拟) 函数 f(x) = lg(4x - 2) 的定义域为 (　 　 ) A. 1 2 , + ∞( ) B. - 12 , + ∞( ) C. 1 2 , + ∞ é ë ê ê ) D. - 1 2 , + ∞ é ë ê ê ) 由题意得 4x - 2 > 0, ∴ 22x > 2,解得 x > 1 2 , ∴ 函 数 f(x) = lg(4x - 2) 的 定 义 域 为 1 2 , + ∞( ) . A 例 3 (1)(2023 届陕西阶段练习) 已知函数 f(2x + 1) 的定义域为( - 1,0),则函数 f(x) 的定 义域为 (　 　 ) A. ( - 1,1) B. ( - 1, - 1 2 ) C. ( - 1,0) D. ( 1 2 ,1) (2)(2023届江苏专题练) 已知 f(x) 的定义 域是[0, + ∞ ),则函数 g(x) = (x - 2) 0 + f(x - 1) 的定义域是 (　 　 ) A. [0,2) ∪ (2, + ∞ ) B. [1,2) ∪ (2, + ∞ ) C. [ - 1,2) ∪ (2, + ∞ ) D. [1, + ∞ ) (1) 由函数 f(2x + 1) 的定义域为 ( - 1,0) 得 - 1 < x < 0, 所以 - 1 < 2x + 1 < 1, 所以函数 f(x) 的定义域为( - 1,1) . (2) 由题意得 x - 2 ≠ 0, x - 1 ≥ 0,{ 解得 x≥1且 x≠2, 所以 函 数 g(x) 的 定 义 域 是 [1,2) ∪