2. 3 二次函数与一元二次方程、不等式-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

2. 3　 二次函数与一元二次方程、不等式 1. 一元二次不等式的概念 我们把只含有一个未知数,且未知数的最高 次数是 2 的不等式称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是 ax2 + bx + c > 0 或 ax2 + bx + c < 0,其中 a,b,c 均为常数, a ≠ 0. 2.二次函数与一元二次方程、不等式的解的 对应关系 Δ = b2 - 4ac Δ > 0 Δ = 0 Δ < 0 二次函数 y = ax2 + bx + c (a > 0) 的 图象 ax2 + bx + c = 0(a > 0) 的根 有两个不相等 的实根 x1 ,x2 (x1 < x2 ) 有两个相等实 根且 x1 = x2 = - b 2a 无实根 ax2 + bx + c > 0(a > 0) 的解集 {x | x < x1 或 x > x2 } {x | x ≠- b 2a } R ax2 + bx + c < 0(a > 0) 的解集 {x | x1 < x < x2 } ⌀ ⌀ 3. 解一元二次不等式的一般步骤 对一元二次不等式进行变形,使不等号右侧为 0 ↓ 对不等号左侧进行因式分解,若不易分解,则 计算对应一元二次方程根的判别式 ↓ 求出相应的一元二次方程的根(分 Δ = 0,Δ < 0,Δ > 0 三种 情况) ↓ 根据一元二次方程根的情况,结合对应二次函数图象的开口方 向,画出大致的函数图象 ↓ 根据二次函数的图象写出不等式的解集 分式不等式的解法 (1) 通过移项、通分,将分式不等式化为左侧是 f(x) g(x) ,右侧 为 0 的形式. (2) 将分式不等式化为整式不等式进行求解. 常见形式 如下: f(x) g(x) > 0⇔f(x)g(x) > 0; f(x) g(x) < 0⇔f(x)g(x) < 0; f(x) g(x) ≥ 0⇔ f(x)g(x) ≥ 0, g(x) ≠ 0;{ f(x) g(x) ≤ 0⇔ f(x)g(x) ≤ 0, g(x) ≠ 0.{ 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 11第二章　一元二次函数、方程和不等式　　　 题型一　一元二次不等式的解法 例 1 (2023 届四川开学考试) 已知集合 A = {x | x2 + 2x - 3 ≤ 0},B = {x | y = ln(2 - x2)}, 则 A ∩ B = (　 　 ) A. (1,3) B. ( - 2 ,1] C. [ - 2,1] D. (1,3] 由题意知集合 A = {x | x2 + 2x - 3 ≤ 0} = {x | (x - 1)(x + 3) ≤ 0} = {x | - 3 ≤ x ≤ 1},B = {x | y = ln(2 - x2)} = {x | 2 - x2 > 0} = {x | - 2 < x < 2 }, 所以A∩B = {x | - 2 < x≤1} = ( - 2,1]. B 例 2 (改编) 解关于 x 的不等式 ax2 - (a + 1)x < - 1. 当 a = 0 时,不等式可化为 - x < - 1, 解得 x > 1. 当 a≠ 0 时,令 ax2 - (a + 1)x =- 1,即(ax - 1)(x - 1) = 0,解得 x = 1 a 或 x = 1, 当 a < 0 时, 1 a < 1, 所以由(ax - 1)(x - 1) < 0得x < 1 a 或x > 1; 当 0 < a < 1 时, 1 a > 1, 所以由(ax - 1)(x - 1) < 0 得 1 < x < 1 a ; 当 a = 1 时, 1 a = 1, 则不等式可化为(x - 1) 2 < 0,无解; 当 a > 1 时, 1 a < 1, 所以由(ax - 1)(x - 1) < 0 得 1 a < x < 1. 综上, 当 a = 0 时, 不等式的解集为 (1, + ∞ ); 当 a < 0 时, 不等式的解集为( - ∞ , 1 a ) ∪ (1, + ∞ );当 0 < a < 1 时,不等式的解集 为(1, 1 a );当a = 1时,不等式的解集为⌀;当a > 1 时,不等式的解集为( 1 a ,1) . 　 　 解含参不等式时,需对参