2. 2 基本不等式-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

2. 2　 基本不等式 考点一　基本不等式 1.基本不等式: ab ≤ a + b 2 (1) 不等式成立的条件:a > 0,b > 0. (2) 等号成立的条件:当且仅当 a = b 时,等 号成立. (3) a + b 2 称为正数 a,b 的算术平均数, ab 称为正数 a,b 的几何平均数. 2. 几个重要的不等式 (1)a2 + b2 ≥ 2ab(a,b ∈ R),当且仅当 a = b 时,等号成立. (2)ab ≤ a + b 2( ) 2 (a,b ∈ R),当且仅当 a = b 时,等号成立. (3)a + b≥2 ab(a > 0,b > 0),当且仅当a = b 时,等号成立. (4) a 2 + b2 2 ≥ a + b 2( ) 2 (a,b∈R),当且仅当a = b时,等号成立. (5) b a + a b ≥ 2(a,b 同号),当且仅当 a = b 时,等号成立. (6) 2 1 a + 1 b ≤ ab ≤ a + b 2 ≤ a2 + b2 2 (a > 0,b > 0),当且仅当 a = b时,等号 成立. 考点二　与基本不等式有关的最值问题 已知 x > 0,y > 0. (1) 如 果 xy 是 定 值 p, 那 么 当 且 仅 当 x = y 时,x + y有最小值2 p (简记:积定和最小); (2) 如果 x + y 是定值 s,那么当且仅当 x = y 时,xy 有最大值s 2 4 (简记:和定积最大) . 　 　 结论应用有三个前提:“一正”“二定”“三相等” . “一正” 是指 x,y 为正数,“二定” 是指求最值时和或积为定值,“三相 等” 是指等号成立的条件要满足. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　利用基本不等式判断不等式是否成立 例 1 (2022 届山东月考) 已知 3a = 5b = 15, 则 a,b 不可能满足的关系是 (　 　 ) A. a + b > 4 B. ab > 4 C. (a - 1) 2 + (b - 1) 2 > 2 D. a2 + b2 < 8 由3a = 5b = 15,得(3a) b = 15b,(5b) a = 15a,即 3ab = 15b,5ab = 15a, ∴ 3ab·5ab = 15b·15a,即 15ab = 15a+b, 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 8　　　直击双 1流　高考数学 ∴ a + b = ab. 易知 a,b 为不相等的正数, ∴ a + b > 2 ab , ∴ ab > 2 ab ,即 ab > 4, ∴ a + b > 4, 故选项 A,B 不合题意. (a - 1) 2 + (b - 1) 2 > 2 等价于 a2 + b2 > 2(a + b) . 由 a2 + b2 > 2ab,且 a + b = ab,可知选项C不 合题意. 由 a2 + b2 > 2ab,ab > 4,得 a2 + b2 > 8, 故选项 D 符合题意. D 题型二　利用基本不等式求最值 例 2 (2022届遵义月考) 已知 c是双曲线 C: x2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0,b > 0) 的半焦距,则a + b c 的 最大值是 (　 　 ) A. 3 3 B. 2 2 C. 2 D. 3 因为 c是双曲线C:x 2 a2 - y 2 b2 = 1(a > 0, b > 0) 的半焦距, 所以 c = a2 + b2 , 所以 a + b c = a + b a2 + b2 = a 2 + b2 + 2ab a2 + b2 = 1 + 2ab a2 + b2 ≤ 1 + a 2 + b2 a2 + b2 = 2 ,当且仅当 a = b 时等号成立, 所以 a + b c 的最大值为 2 . C 　 　 利用基本不等式求最值时,关键是构造出定值,利用“积定 和最小,和定积最大” 求最值,另外还需要注意等号成立条件是 否符合题意. 例 3 (2023届天津期中)若实数a,b满足lg a + lg b = lg(a + 2b),则 ab 的最小值为 (　 　 ) A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 由 lg a + lg b = lg(a + 2b),得 lg(ab)= lg(a + 2b),a > 0,b > 0,即 ab = a + 2b. 因为 ab =