1. 3 全称量词与存在量词-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

1. 3　 全称量词与存在量词 1. 全称量词与存在量词 量词名称 常见量词 符号表示 全称量词 所有的、一切、任意一个、全部、每一 个等 ∀ 存在量词 存在一个、 至少有一个、 有些、 某 些等 ∃ 2. 全称量词命题与存在量词命题 形式 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个 x, 有 p(x) 成立 存在 M 中的元素 x0 ,使 p(x0 ) 成立 简记 ∀x ∈ M,p(x) ∃x0 ∈ M,p(x0 ) 否定 ∃x0 ∈ M,¬ p(x0 ) ∀x ∈ M,¬ p(x) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　 全称量词命题与存在量词命题的 真假判断 例 1 (2022届北京通州期中) 下列命题为真 命题的是 (　 　 ) A. ∀x ∈ R, | x | > 0 B. ∃x ∈ R, | x | < 0 C. ∀x ∈ R,x2 - x + 1 > 0 D. ∃x ∈ R,x2 - x + 1 < 0 当 x = 0 时, | x | = 0,故 A 错误; | x | ≥ 0 恒成立,故 B 错误; 因为 x2 - x + 1 = (x - 1 2 ) 2 + 3 4 > 0 恒成立, 所以 ∀x ∈ R,x2 - x + 1 > 0,故 C 正确, D错误. C 题型二　 全称量词命题与存在量词命题的 否定 例 2 (2023 届东莞期中) 命题“∃x ∈ R, x2 - 1 < 0” 的否定是 (　 　 ) A. ∃x ∈ R,x2 - 1 > 0 B. ∃x ∈ R,x2 - 1 ≥ 0 C. ∀x ∈ R,x2 - 1 ≥ 0 D. ∀x ∈ R,x2 - 1 < 0 因为存在量词命题的否定是全称量 词命题, 所以命题“∃x ∈ R,x2 - 1 < 0” 的否定是 “∀x ∈ R,x2 - 1 ≥ 0” . C 题型三　根据命题的真假求参数范围 例 3 (改编) 若命题“∀x∈R,x2 - 4x + a≠ 0” 为 假 命 题, 则 实 数 a 的 取 值 范 围 是 . ∵ 命题“∀x∈R,x2 - 4x + a≠ 0” 为 假命题, ∴ “∃x ∈ R,x2 - 4x + a = 0” 是真命题, ∴ 方程 x2 - 4x + a = 0 有实数根,则判别式 Δ =( - 4) 2 - 4a ≥ 0,解得 a ≤ 4, ∴ 实数 a 的取值范围是( - ∞ ,4] . ( - ∞ ,4] 　 　 有关全称量词命题求参数范围的问题可转化为恒成立问 题求解;有关存在量词命题求参数范围的问题可转化为能成立 问题求解. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 5第一章　集合与常用逻辑用语