1. 2 充分条件与必要条件-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

1. 2　 充分条件与必要条件 1. 充分条件、必要条件与充要条件的概念 (1) 如果“若 p,则 q” 为真命题,即 p⇒q,就 称 p 是 q 的充分条件,q 是 p 的必要条件. (2) 如果“若 p,则 q” 为假命题,即 p⇒/ q,就 称 p 不是 q 的充分条件,q 不是 p 的必要条件. (3) 如果“若 p,则 q” 和“若 q,则 p” 都为真 命题,即 p⇔q,就称 p 是 q 的充分必要条件,简称 充要条件. 2. p 与 q 的四种关系及相关表述 关系 记法 集合 A = {x | p(x)} 与 B = {x | q(x)} 间的关系 p 是 q 的充分不必要 条件 p⇒q 且 q⇒/ p A ⫋ B p 是 q 的必要不充分 条件 p⇒/ q 且 q⇒p A ⫌ B p 是 q 的充要条件 p⇒q 且 q⇒p A = B p 是 q 的既不充分也不 必要条件 p⇒/ q 且 q⇒/ p A,B 互不包含 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　充分条件、必要条件的判断 例 1 (2022 届盘锦二中月考) 设 φ ∈ R,则 “φ = 0” 是“ f(x) = cos(2x + φ)(x ∈ R) 为偶函 数” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 由 φ = 0 得 f(x) = cos 2x(x ∈ R),此 时 f( - x) = f(x),即 f(x) 是偶函数, 故充分性成立. 由 f(x) = cos(2x + φ)(x ∈ R) 为偶函数,得 cos φ = ± 1,解得 φ = kπ,k ∈ Z, 故必要性不成立. 综上,“φ = 0” 是“ f(x) = cos(2x + φ)(x ∈ R) 为偶函数” 的充分不必要条件. A 例 2 (2023届北京人大附中期中) 已知两个 不同的平面 α,β,两条不同的直线 a,b,若 a ⊂ α, b ⊂ α,则“a ∥ β,b ∥ β” 是“α ∥ β” 的 (　 　 ) A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 若 a ∥ b,则由 a ∥ β,b ∥ β 推不出 α ∥ β,充分性不成立; 若 α ∥ β,a ⊂ α,b ⊂ α,则 a ∥ β,b ∥ β,必 要性成立. 故“a ∥ β,b ∥ β” 是“α ∥ β” 的必要不充分 条件. B 例 3 (2023 届成都模拟) 设 0 ≤ x ≤ π 2 ,则 “cos x < x2” 是“cos x < x” 的 (　 　 ) 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 3第一章　集合与常用逻辑用语 　　　 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 在同一坐标系中作出函数y = cos x, y = x2 及 y = x 在[0,π 2 ] 上的图象,如图所示. 由图象知,当 cos x < x2 时,xB < x ≤ π 2 ,当 cos x < x 时,xA < x ≤ π 2 . 因为 xB, π 2( ù û ú ú ⫋ xA, π 2( ù û ú ú , 所以“cos x < x2” 是“cos x < x” 的充分不必 要条件. A 题型二　 根据充分条件、必要条件求参数 的取值范围 例 4 (2022 届遵义航天高中模拟) 命题 p: ∀x > e,a -ln x < 0为真命题的一个充分不必要 条件是 (　 　 ) A. a ≤ 1 B. a < 1 C. a ≥ 1 D. a > 1 由题意得 a < (ln x) min . ∵ x > e, ∴ ln x > 1, ∴ a ≤ 1. ∵ ( - ∞ ,1) ⫋ ( - ∞ ,1], ∴ 所求的一个充分不必要条件是 a < 1. B 　 　 例 5 (2023届上海南汇中学期中) 设 α:x > a,β:x - 1 x > 0,若α是β的充分条件,则实数a的 取值范围是 (　 　 ) A. (0, + ∞ ) B. ( - ∞ ,1] C. [1, + ∞ ) D. ( - ∞ ,0] 由 x - 1 x > 0 得(x - 1)x > 0,解得 x