1. 1 集 合-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

第一章 　 集合与常用逻辑用语 1. 1　 集 　 　 合 考点一　集合的概念 1. 集合的概念 一般地,我们把研究对象统称为元素,把一 些元素组成的总体叫做集合,简称集. 2. 集合与元素 (1) 集合中元素的性质:确定性、无序性、互 异性. (2) 元素与集合的关系:如果 a 是集合 A 中 的元素,就说 a属于集合 A,记作 a ∈ A;如果 a不 是集合 A 中的元素,就说 a 不属于集合 A,记作 a ∉ A. 3. 常用数集及其记法 数集 自然数集 正整数集 整数集 有理数集 实数集 记法 N N∗ 或 N + Z Q R 4. 集合的表示方法 集合的表示方法有自然语言、列举法、描述法 和图示法. 考点二　集合间的基本关系 基本关系 自然语言 符号语言 记法 子集 集合 A 中任意一个元素 都是集合 B 中的元素 ∀x ∈ A, x ∈ B A ⊆ B 或 B ⊇ A 真子集 集合A是集合B的子集, 且集合 B 中至少有一个 元素不属于集合 A A ⊆ B, 且 ∃x0 ∈B, x0 ∉A A ⫋ B 或 B ⫌ A 集合相等 集合 A,B 中的元素完 全相同 A ⊆ B,且 B ⊆ A A = B 　 　 1. 不含任何元素的集合叫做空集,记为 ⌀. 空集是任何集 合的子集,是任何非空集合的真子集. 2. A 是 B 的子集(A ⊆ B) 包含 2 种可能:①A 是 B 的真子 集(A ⫋ B);②A 与 B 相等(A = B). 3. 集合 A 是其本身的子集,即 A ⊆ A. 4. 子集具有传递性,即 A ⊆ B,B ⊆ C⇒A ⊆ C. 考点三　集合的基本运算 1. 集合的基本运算 基本运算 自然语言 符号语言 图形语言 记法 交集 由所有属于集合 A 且属于集合 B 的 元素组成的集合 {x | x ∈ A, 且 x ∈ B} A ∩ B 并集 由所有属于集合 A 或属于集合 B 的 元素组成的集合 {x | x ∈ A, 或 x ∈ B} A ∪ B 补集 由全集 U 中不属 于集合A的所有元 素组成的集合 {x | x ∈ U, 且 x ∉ A} ∁UA 2. 常用的运算性质 (1) 交集的性质:A∩A = A;A∩ ⌀ =⌀;A∩ B = B ∩ A;A ∩ B = A⇔A ⊆ B. (2) 并集的性质:A ∪ A = A;A ∪ ⌀ = A;A ∪ B = B ∪ A;A ∪ B = B⇔A ⊆ B. (3) 补集的性质:A ∩ ( ∁UA) = ⌀;A ∪ (∁UA) = U;∁U(∁UA) = A;∁U(A ∩ B) = (∁UA) ∪ (∁UB);∁U(A ∪ B) = (∁UA) ∩ (∁UB) . 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 题型一　集合的概念 例 1 (2023 届长沙一中阶段练) 已知集合 A = {4,3,5m - 6},B = {3,m2},若 B ⊆ A,则实数 m 的取值集合是 (　 　 ) A. {3,2} B. {2, - 2,3} C. { - 2,3} D. {2, - 2} 由题意得 4 = m2 或 5m - 6 = m2,解得 m = 2 或 m =- 2 或 m = 3. 当m = 2时,5m - 6 = 4,违背了集合中元素的 互异性,故舍去; 当m =- 2 时,集合 A = {4,3, - 16},B = {3, 4},符合题意; 当m = 3 时,集合 A = {4,3,9},B = {3,9},符 合题意. 综上,m =- 2 或 m = 3, 故实数 m 的取值集合是{ - 2,3} . C 　 　 集合中元素的互异性常常容易忽略,求解与之相关的问题 时要特别注意. 例 2 (2023届湖南模拟) 已知集合 A = {(x, y) | y = f(x)},B = {(x,y) | x = 1},则 A ∩ B中 (　 　 ) A. 必有 1 个元素 B. 有 1 个或 2 个元素 C. 至多有 1 个元素 D. 可能有 2 个以上元素 由题意知 A ∩ B = {(x,y) | y = f(x), 且 x = 1} . 当 x = 1,f(x) 有意义时,A∩B中有1 个元素 (1,f(1)); 当 x = 1,f(x) 无意义时,A ∩ B = ⌀. 综上,A ∩ B 中至多有 1 个元素