12. 2 合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明-【直击双1流】2024高考数学一轮复习讲义

12. 2　 合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明 考点一　合情推理与演绎推理 1. 合情推理 类型 定义 特点 归纳推理 由某类事物的部分对象具有某些 特征,推出该类事物的全部对象都 具有这些特征的推理,或者由个别 事实概括出一般结论的推理 由部分到整 体、 由 个 别 到一般 类比推理 由两类对象具有某些类似特征和 其中一类对象的某些已知特征,推 出另一类对象也具有这些特征的 推理 由 特 殊 到 特殊 2. 演绎推理 (1) 定义:从一般性的原理出发,推出某个 特殊情况下的结论,我们把这种推理称为演绎推 理. 简言之,演绎推理是由一般到特殊的推理. (2)“三段论” 是演绎推理的一般模式, 包括: ① 大前提 ——— 已知的一般原理; ② 小前提 ——— 所研究的特殊情况; ③ 结论 ——— 根据一般原理,对特殊情况做 出的判断. (3)“三段论” 的表示如下: ① 大前提 ———M 是 P;② 小前提 ———S 是M; ③结论———S是P. 　 　 1. 在进行类比推理时要尽量从本质上去类比,不要被表面 现象迷惑,否则只抓住一点表面现象的相似甚至假象就去类 比,就会犯机械类比的错误. 2. 合情推理是从已知的结论推测未知的结论,发现与猜想 的结论都要经过进一步的严格证明. 3. 演绎推理是由一般到特殊的推理,注意推理过程的严谨 性,书写格式的规范性. 考点二　直接证明与间接证明 1. 直接证明 内容 综合法 分析法 定义 利用已知条件和某 些数学定义、 公理、 定理等,经过一系列 的推理论证,最后推 导出所要证明的结 论成立 从要证明的结论出发, 逐步 寻求使它成立的充分条件, 直至最后把要证明的结论归 结为判定一个明显成立的条 件(已知条件、定理、定义、公 理等) 为止 实质 由因导果 执果索因 框图 表示 P⇒Q1 → Q1⇒Q2 → … → Qn⇒Q Q⇐P1 → P1 ⇐P2 → … → 得到一个明显 成立的条件 文字 语言 因为 ……,所以 …… 或由 ……,得 …… 要证 ……, 只需证 ……, 即 证 …… 2. 间接证明 间接证明是不同于直接证明的又一类证明 方法,反证法是一种常用的间接证明方法. (1) 反证法的定义:假设原命题不成立(即 在原命题的条件下,结论不成立),经过正确的推 理,最后得出矛盾,因此说明假设错误,从而证明 原命题成立的证明方法. (2) 用反证法证明的一般步骤: ① 反设 ——— 假设命题的结论不成立; ② 归谬 ——— 根据假设进行推理,直到推出 矛盾为止; ③ 结论 ——— 判定假设不成立,从而肯定原 命题的结论成立. 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 􀪋 102第十二章　线性规划、推理与证明、算法初步 　　　 题型一　合情推理与演绎推理的应用 例 1 (2022届全国课时练)已知8 > 7,16 > 9,32 > 11,…,则 (　 　 ) A. 2n > 2n + 1 B. 2n+1 > 2n + 1 C. 2n+2 > 2n + 5 D. 2n+3 > 2n + 7 8 > 7⇒21+2 > 2 × 1 + 5, 16 > 9⇒22+2 > 2 × 2 + 5, 32 > 11⇒23+2 > 2 × 3 + 5, …… 2n+2 > 2n + 5. C 例 2 (2023届桂林阶段练习) 河图洛书被誉 为“宇宙魔方”,历来被认为是中华文明的源头. 洛书上,纵、横、斜三条线上的三个数字,其和皆 为 15(如图所示) . 类比上述填写方式,将 1,2,3, 4,5,6,7,8 八个数字填写在正方体的八个顶点 处,使得正方体的每个面上四个数字的和相等, 则每个面上数字的和应为 (　 　 ) 4 9 2 3 5 7 8 1 6 　 　 A. 16 B. 18 C. 20 D. 22 易知正方体的每一个顶点,均存在于 正方体的 3 个面内. 若算各面四个数之和,则每个数参与 3 次计 算,(1 + 2 + 3 + … + 8) × 3 = 108. 又正方体共六个面, 所以每个面上的数字之和为 108 6 = 18. B 题型二　直接证明的应用 例 3 (2023 届沈阳阶段练)(1) 已知 a,b,c 都是正实数,证明:a + b + c≥ ab + bc + ca . (2)